La técnica de forcing o forzamiento permite construir objetos mediante aproximaciones. En general es muy difícil o imposible dar una descripción completa del objeto a construir, pero esto no significa que no haya uno: muchas veces son la mayoría, y la gran idea detrás del forcing es que el objeto “genérico” cumplirá con los requerimientos, con una noción adecuada de genericidad. El Axioma de Martin ($\MA$) asegura que hay objetos genéricos para una variedad de situaciones, y su desarrollo fue en gran medida simultáneo con el forcing. Por eso ahora se usa $\MA$ para motivar este último.

Construiremos intuición a partir de un ejemplo. Sean $I$ y $J$ dos conjuntos (para evitar trivialidades, tomemos $I$ infinito), y supongamos que queremos construir una $f:I\to J$ (esencialmente, un conjunto de pares). Nuestro conjunto de aproximaciones serán las funciones finitas de $I$ a $J$ ($\mathop{\mathrm{Fn}}(I,J)$), esto es, funciones $p$ tales que $\mathop{\mathrm{dom}} p$ es un subconjunto finito de $I$ e $\mathop{\mathrm{img}} p\subseteq J$. Podemos asociar a un elemento $p\in\mathop{\mathrm{Fn}}(I,J)$ la “condición” $p\sbq f$ ($f$ extiende a $q$). Según esta interpretación, la condición $p$ nos da un fragmento finito de información sobre $f$. Por ejemplo, si $I=J=\N$ y $p=\{\lb 0,1\rb \}$, $p\sbq f$ nos dice simplemente que $f(0)=1$. Diremos que una condición es $p$ es más fuerte que $q$ si $p\supseteq q$, puesto que tal $p$ nos da más información sobre $f$ que $q$:

\[ p\supseteq q \text{ implica } p\sbq f \limp q \sbq f. \]

En lógica (y en general) se usa mucho la correspondencia entre una propiedad o “predicado” $P(x)$ de elementos de algún conjunto y el subconjunto de los $x$ que la satisfacen. Luego, las propiedades más débiles (laxas) se corresponden con conjuntos más grandes. Por eso, utilizaremos la notación $p\leq q$ para indicar que $p$ es más fuerte que $q$. En particular, la condición más grande es la que no nos da nada de información: en este caso es $\emptyset$, la función vacía.

En resumen, tenemos un conjunto parcialmente ordenado

\[ \lb\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}\rb\defi\lb\mathop{\mathrm{Fn}}(I,J),\supseteq,\emptyset\rb \]

con máximo $\mathbf{1}$. Esto es lo que llamaremos noción de forzamiento.

Como dijimos más arriba, una condición $p$ sólo da información finita, o local, de la $f$ que intentamos construir. Otras propiedades de la función $f$ no son de la forma $p\sbq f$. Si nuestro objetivo es obtener una función total, necesitamos asegurar que para cada $i\in I$, $i$ esté en el dominio de $f$. Esta propiedad involucra el conjunto de condiciones $D_i\defi\{p\in\mathbb{P} : i\in\mathop{\mathrm{dom}} p\}$. Es posible que no sepamos de antemano qué valor nos conviene que tenga $f$ en $i$, así que desearíamos poder asegurar que sin importar qué información (finita) imponemos sobre $f$, en algún momento podremos cumplir con el requisito que $i\in\mathop{\mathrm{dom}}f$. Esto motiva la siguiente

Es decir, si $D$ es denso y tenemos una aproximación $q$ a $f$, entonces podemos conseguir una aproximación más precisa (una condición más fuerte) que además está en $D$. Los conjuntos $D_i$ de arriba son densos.

Por otro lado, observemos que el conjunto de partes finitas de $f$,

\[ G\defi \{ f \restriction U : U\sbq I \text{ finito }\} \sbq\mathbb{P} \]

es la descripción completa de $f$ en $\mathbb{P}$. Podemos observar que $G$ cumple con las siguientes propiedades:

1.

si $p\in G$ y $p\leq q$ entonces $q\in G$ (es creciente)

2.

si $p,q\in G$, entonces hay $r\in G$ tal que $r\leq p,q$ ($p$ y $q$ son compatibles en $G$).

Un subconjunto no vacío de un poset que satisface ambas condiciones se denomina filtro en $\mathbb{P}$. Todo filtro $G$ en $\mathop{\mathrm{Fn}}(I,J)$ define una función parcial ${\textstyle\bigcup} G$. Pero para que esté definida en todo $I$ necesitamos que corte a cada conjunto $D_i$.

Siempre que tengamos una cantidad numerable de conjuntos densos, va a haber un filtro que los corte a todos:

Se puede pensar que este resultado, llamado también el Lema de Rasiowa-Sikorski, es una versión del Teorema de Categoría de Baire. El Axioma de Martin es una generalización del Teorema 3 para familias más grandes de conjuntos densos, y lo discutiremos en un siguiente post.