La Aritmética de Peano

Don Giuseppe Peano publicó en 1889 un libro que incluía una axiomatización de los números naturales $\N$, teniendo algunos antecedentes que cualquier usuario de Wikipedia puede averiguar. Esencialmente, son los siguientes:

1.
Hay un elemento distinguido $0\in\N$.
2.
Hay una función inyectiva $S:\N\to\N$, llamada sucesor, tal que $0$ no está en la imagen de $S$.
3.
(Inducción) Si $P$ es un subconjunto de $\N$ tal que:

1.
$0$ pertenece a $P$.
2.
Para todo $m\in\N$, si $m$ pertenece a $P$, entonces $S(m)$ pertenece a $P$.

Entonces todo $n\in\N$ está en $P$.

Un primer ejercicio para entender Inducción consiste en probar que la imagen de $S$ es $\N\sm\{0\}$.

En algunos textos, se define a $\N$ como el “menor conjunto inductivo”, y para ello asumen previamente la existencia del cuerpo $\R$. Esto no es muy elegante que digamos; los axiomas de arriba tienen elegancia palaciega, pero ello no quita que en un palacio barroco se pueda poner gran cantidad de mugre bajo la alfombra. Más adelante, trataremos de ver cuál es la “suciedad” que nos esconde Peano. Continue reading

Juegos y De Morgan

Comencemos con la definición de límite de primer año de la facultad: $\lim_{x\to 0} f(x) = l$ si y sólo si \[ \forall \ep >0 \exists \del >0 \forall x : 0< |x|< \del \ent |f(x)-l|< \ep. \] De hecho, es una definición complicada (medida en cuantificadores alternados, $\forall\exists\forall$; ninguna natural supera los cinco). Por eso, es más conveniente manejarla jugando.
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Lecturas iniciales en Teoría de Conjuntos

En sólo un día y medio comenzará el Congreso Monteiro, y con la suerte de tener el marco de un nutrido menú de charlas plenarias muy interesantes, también comenzará mi pequeño curso sobre el Axioma de Martin ($\MA$).

En la web del congreso están subidas las notas del curso, que esencialmente contienen los últimos posts del blog sobre el tema. Como un extra, quise cerrarlas con algunas recomendaciones de lectura; o más bien, mis pareceres al ver algunos libros. Se las comparto a continuación. Continue reading

Aplicaciones del Axioma de Martin

Como prometimos, veremos a continuación algunas aplicaciones del Axioma de Martin. Recordemos que $\CH$ implica (o más bien, “trivializa”) a $\MA$. El Axioma de Martin comparte varias consecuencias de $\CH$, pero por razones distintas. Donde $\CH$ obliga a varias familias a tener cardinal $2^{\ale0}$ por “falta de lugar” (no hay cardinales entre $\ale0$ y $2^{\ale0}$), $\MA$ lo hace porque muestra que dichas familias son muy “ricas”. Volveremos sobre esto. Continue reading

El Axioma de Martin

En un post anterior dimos las definiciones básicas de conjuntos densos y filtros genéricos en conjuntos parcialmente ordenados (“posets”), y enunciamos el Teorema de Existencia de Filtro genérico, que copiamos a continuación:

Teorema 1. Si $\mathbb{P}$ es un poset, $\mathcal{D}$ es una familia contable de subconjuntos densos de $\mathbb{P}$ y $p\in\mathbb{P}$, hay un filtro $\mathcal{D}$-genérico $G$ tal que $p\in G$.

La prueba es una construcción recursiva y depende de $\AC$. La siguiente preocupación es saber cuán ajustadas son las hipótesis de este teorema. Por ejemplo, ¿vale si la familia $\mathcal{D}$ no es contable? Respuesta rebuscada: sin salirse del Universo, no. Continue reading

Nociones de Forzamiento

La técnica de forcing o forzamiento permite construir objetos mediante aproximaciones. En general es muy difícil o imposible dar una descripción completa del objeto a construir, pero esto no significa que no haya uno: muchas veces son la mayoría, y la gran idea detrás del forcing es que el objeto “genérico” cumplirá con los requerimientos, con una noción adecuada de genericidad. El Axioma de Martin ($\MA$) asegura que hay objetos genéricos para una variedad de situaciones, y su desarrollo fue en gran medida simultáneo con el forcing. Por eso ahora se usa $\MA$ para motivar este último. Continue reading

Fuerza de Consistencia

En una serie de posts de Facebook, un compañero de la facultad comentaba sobre la posibilidad de que la Conjetura de Goldbach sea independiente de los axiomas de la matemática. Yo creo que no es el caso, y supongo que los expertos que conocen de ambos temas coinciden conmigo, pero de todos modos es interesante que surja esta discusión.

En algún momento, se hizo una comparación con la geometría plana:

El caso de la geometria euclidea o no euclidea se trató porque justamente el quinto “axioma” no era tan necesario para describir una geometría global. Pero no es que las matemáticas vayan a ser distintas!

Es decir, puede haber varias geometrías (euclídeas o no) pero sólo una matemática, la verdadera. Sin embargo, los “nuevos axiomas” (como los que se presentan en este artículo de Quanta del año 2013) abren la posibilidad de elegir entre “dos matemáticas” distintas: una, en la que el universo matemático tiene cierta “canonicidad” (es una generalización del “universo constructible”, también desarrollado por Gödel); y otra, en la que el universo admite una propiedad de “completitud” (generalización del Teorema de Categoría de Baire).

En el primero vale la Hipótesis del Continuo; en el segundo, su negación. ¿Cuál es la verdadera?

depende de lo que aceptemos? o depende del universo?

Justamente: depende. Por eso hay que tener cuidado con el término “verdadero” en matemática. Hay objetos sobre los que hemos construido gran intuición (v.g., $\N$ y la aritmética), y es casi imposible hacer algún tipo de matemática sin creer en la “existencia” (mejor: consistencia) de los números naturales. Pero no mucho más allá: nuestro ojo matemático no ha podido ver de forma definida, o completa, otros objetos. Entender las “verdades” del objeto $\P(\P(\N))$ parece escapar (por ahora) de nuestro entendimiento; tanto, que algunos plantean que dicho conjunto de partes no existe. Por otro lado, es sorprendente la cantidad de matemática que habla (en el fondo) solamente de la estructura $(\N,\P(\N),+,\cdot)$; esto es el punto de la matemática reversa .

Un conjunto de axiomas es consistente si a partir de ellos no se deduce una contradicción, es decir, una expresión y su negación. Mediante una fina codificación inventada por Gödel, un conjunto de axiomas que permita expresar a la aritmética puede hablar internamente de demostraciones y por ende de consistencia; incluso, puede formular un enunciado $\Phi$ que representa a su propia consistencia. Ahora, su Segundo Teorema de Incompletidud dice que tal conjunto de axiomas no puede probar $\Phi$, i.e. su consistencia, si la tuviera. Pero sí podría probar su inconsistencia; simplemente, mostrando (la codificación de) una demostración que lleva a contradicción. Entonces, la búsqueda definitiva es justamente esa: la de la inconsistencia. Agregando axiomas cada vez más poderosos a los axiomas usuales de la matemática (como los axiomas de “cardinales grandes”), la capacidad de prueba aumenta; en particular, $\ZFC$ junto a cualquier axioma de cardinal grande $\mathit{CG}$ pueden demostrar “$\ZFC$ es consistente”. Decimos entonces que $\ZFC + \mathit{CG}$ tiene más fuerza de consistencia que $\ZFC$.

Y para la búsqueda de axiomas nuevos, cada vez más potentes, hay un máximo absoluto. A partir de la inconsistencia se puede demostrar cualquier cosa. Por eso no nos sirve. Mientras no la alcancemos, por más que subamos por la vertiginosa escalera de los cardinales, nuestra seguridad en nuestros fundamentos ($\ZFC$ y la Aritmética) se acrecentará.