Don Giuseppe Peano publicó en 1889 un libro que incluía una axiomatización de los números naturales $\N$, teniendo algunos antecedentes que cualquier usuario de Wikipedia puede averiguar. Esencialmente, son los siguientes:

1.

Hay un elemento distinguido $0\in\N$.

2.

Hay una función inyectiva $S:\N\to\N$, llamada sucesor, tal que $0$ no está en la imagen de $S$.

3.

(Inducción) Si $P$ es un subconjunto de $\N$ tal que:

1.

$0$ pertenece a $P$.

2.

Para todo $m\in\N$, si $m$ pertenece a $P$, entonces $S(m)$ pertenece a $P$.

Entonces todo $n\in\N$ está en $P$.

Un primer ejercicio para entender Inducción consiste en probar que la imagen de $S$ es $\N\sm\{0\}$.

En algunos textos, se define a $\N$ como el “menor conjunto inductivo”, y para ello asumen previamente la existencia del cuerpo $\R$. Esto no es muy elegante que digamos; los axiomas de arriba tienen elegancia palaciega, pero ello no quita que en un palacio barroco se pueda poner gran cantidad de mugre bajo la alfombra. Más adelante, trataremos de ver cuál es la “suciedad” que nos esconde Peano. Continue reading →