Mejor, el Principio de Hausdorff

English version below

Me he vuelto un opositor al Lema de Zorn (ZL). En sí, ZL no tiene nada de malo, y a su favor tiene una enorme fama entre los matemáticos tradicionales. Mi punto es que hay un mundo mejor, y es más barato: se llama “Principio maximal de Hausdorff (HMP)”.

Resumen ejecutivo:

1.
Da lugar a pruebas más cortas.
2.
Tiene un enunciado más corto (y más fácil de recordar).

No habría necesidad argumentar a favor del punto 1, si no fuera que vale en una forma mucho más fuerte: toda prueba utilizando ZL incluye propiamente a una que usa HMP. (Es verdad, exagero. Pero no tanto). Es decir, no sólo son pruebas más cortas sino que requieren un poquito menos trabajo.

: ¿Qué opina Cantor?

El punto 2 habla también de una limitación mía. Siempre olvido las hipótesis de los teoremas. Me acuerdo de muchos, me olvido los detalles. Quizá algunx de lxs lectorxs comparta este mismo problema. Me cuesta incluso acordarme de las de ZL. ¿Qué mejor entonces que un teorema sin hipótesis?

Principio maximal de Hausdorff. Todo poset tiene una cadena maximal.

Ok, hay que saber que un poset es un conjunto parcialmente ordenado, que una cadena es un subconjunto totalmente ordenado, y que es maximal si no está incluida propiamente en otra cadena. Vale para todo poset. Sin restricciones. Todo. Poset.

Salvo lo de la maximalidad, es necesario saber todo esto para ZL. Estaría bueno verlo en acción; tomemos un ejemplo clásico:

Teorema 1. Todo espacio vectorial $V$ tiene una base.
Prueba. Consideremos el poset $P$ de los subconjuntos LI de $V$, ordenados por inclusión. Por HMP, hay una cadena maximal $\calF\sbq P$. Afirmamos que $\union\calF$ es una base de $V$.

$\union\calF$ es LI: supongamos que $v_1,\dots,v_n\in\union\calF$. Luego hay $S_i\in\calF$ tales que $v_i\in S_i$ con $i=1,\dots,n$. Como $\calF$ está totalmente ordenado por $\sbq$, alguno de los $S_i$ incluye a todos los otros, y por ende contiene a todos los $v_1,\dots,v_n$. Luego no puede haber combinación lineal no trivial de ellos que dé $0$.

$\union\calF$ genera: si no lo hiciera, habría un $v\in V$ que es linealmente independiente de $\union\calF$, luego $S_0\defi \union\calF\cup\{v\}$ es LI e incluye propiamente a todos los $S\in\calF$.

Esto quiere decir que $\calF\cup\{S_0\}$ es una cadena que incluye propiamente a $\calF$: absurdo. $\Box$

Como deben conocer, la prueba del Teorema 1 usando ZL requiere ver que $P$ es inductivo, que es el segundo párrafo de la prueba anterior. Ahí se invoca ZL para encontrar un elemento maximal $M$, que viene a cumplir el rol de nuestro $\union\calF$. Y se prueba que $M$ genera argumentando similarmente al tercer párrafo. A mi gusto, la prueba con ZL es una versión retorcida de la que presenté más arriba. Obviamente, es una cuestión subjetiva. Estoy atento a los ejemplos me presenten para revisar mi punto.

Hausdorff Principle is Better

I have become an opponent of the Zorn’s Lemma (ZL). In itself, ZL has nothing wrong, and in its favor it has a huge reputation among traditional mathematicians. My point is that we can find a better world: it is called “Hausdorff maximal principle (HMP)”.

My reasons:

1.
It leads to shorter proofs.
2.
It has a shorter (hence easier to remember) statement.

There would be no need to argue in favor of item 1, but actually even more is true: Any proof using ZL properly includes one that uses HMP. (Alright, I’m exaggerating; but not that much). That is, you get not only shorter proofs but ones that require a bit less of work.

Item 2 tells a little about my own limitations. I always forget hypotheses of theorems. Maybe some of the readers share this problem. It’s hard for me even to remember those of ZL. Then, what can be better than a theorem without hypotheses?

Hausdorff maximal principle. Every poset has a maximal chain.

Ok, you have to know that a poset is a partially ordered set, that a chain is a totally ordered subset, and that the latter is maximal if it is not properly included in another chain. It holds for every poset. No restrictions. Every. Poset.

Save maximality (of chains!), all this is a prerequisite for ZL. Now, it would be good to watch HMP in action. We take a classical example:

Teorema 2. Every vector space $V$ has a basis.
Prueba. Consider the poset $P$ of the LI subsets of $ V $, partially ordered by inclusion. By HMP, there is a maximal chain $ \calF \sbq P $. We claim that $ \union \calF $ is a basis of $ V $.

$\union \calF $ is LI: Suppose that $ v_1, \dots, v_n \in \union \calF $. Then there are $ S_i \in \calF $ such that $ v_i \in S_i $ for $ i = 1, \dots, n $. Since $ \calF $ is totally ordered by $ \sbq $, one of the $ S_i $ includes all the others, and therefore contains all the $ v_1, \dots, v_n $. Therefore there can be no non-trivial linear combination of them leading to $0$.

$ \union \calF $ spans $V$: If it did not, there would be a $ v \in V$ linearly independent of $ \union \calF $, then $ S_0 \defi \union \calF \cup \{v \} $ is LI and properly includes all $ S \in \calF $.

This means that $ \calF \cup \{S_0 \} $ is a chain that properly includes $ \calF $: Contradiction. $\Box$

As you probably know, the proof of Theorem 2 using ZL requires showing that $ P $ is inductive, which is the second paragraph of the previous proof. After that, ZL is invoked to find a maximal element $ M $, which fulfills the role of our $ \union \calF $. Then it is proved that $ M $ spans $V$ arguing similarly to the third paragraph. To my taste, the proof using ZL is a twisted version of the one I presented above. What do you think about this? I’ll be glad to hear about your examples.

8 thoughts on “Mejor, el Principio de Hausdorff

  1. Me gustó la prueba de la existencia de la base usando el HMP, que si bien conocía, nunca lo ví usado en pruebas de verdad. Sin embargo me permito discutir tu afirmación de que simplifica todas las pruebas que usan el ZL. El ejemplo inmediato que se me vino a la mente fue el de la existencia de ideales maximales en un anillo. Debido a lo adaptado que está la conclusión del ZL, en este caso usar el HMP demandaría un par más de líneas de escritura. Pero otros ejemplos que tengo en mente como la existencia de anillos de valoración discreta en algebra conmutativa se podrían hacer muchísimo más elegantes con HMP. La verdad que vale la pena tenerlo en cuenta para tener pruebas más elegantes.

    Respecto a si es fácil de recordar o no, ambos me parecen a mí similares en ese aspecto, es uno tenés que recordar ver que toda cadena es acotada superiormente, y en el otro te da una cadena maximal. A la hora de enseñarlo quizás el HMP sea mejor porque trabajas con una cadena “concreta” mientras que en ZL es “toda cadena”, pero por supuesto la diferencia es solo psicológica, ya que la cadena de HMP es tan concreta como una genérica cualquiera. Personalmente a mí me sale más fácil el ZL, pero esto podemos atribuirlo a años de educación matemática (vease adoctrinamiento) donde solo usábamos este para las pruebas.

    Muy buen artículo!

    Saludos

    • Gracias, Héctor, por leer el post y más por comentarlo.
      Exactamente, la diferencia es principalmente psicológica y en segundo lugar metodológica.

      Con respecto al ejemplo de ideales maximales, me pongo a pensar en el caso unitario y debería ser prácticamente la misma prueba ($P$=ideales propios) nada más que la condición a chequear sobre $\union\calF$ es que una combinación lineal nunca sea $1$. ¿En qué me estoy confundiendo?

      • Es una línea más, pero es casi lo mismo. En HMP deberías además probar que el ideal obtenido es maximal (que se hace en una línea pues si no lo fuera podrías extender la cadena agregandolo) mientras que en el ZL te dice directamente que existe un ideal maximal. Tenes razón que el núcleo de la prueba, ver que la suma de la cadena de ideales propios es un ideal propio, es el mismo en ambos casos.

        • La parte de la maximalidad se corresponde entonces con la parte de la prueba de arriba donde ves que $\union\calF$ genera. Un punto central de mi argumento es que esto lo debés hacer igual para ZL, _para toda cadena del poset_ (justamente, para ver que es inductivo).

          ¿Cómo la ves?

          • Si en el caso de EV es como decís vos, pero eso es porque lo que querías es una base, no un conjunto linealmente maximal (que es lo mismo pero tenés que escribir que es lo mismo, no sé si se entiende). En el caso de ideales maximales vos lo que querés es justamente el elemento maximal, que es justo la tesis del ZL. En cambio en HMP deberías agarrar la “cota” que te armaste en ZL (la suma de la cadena) y argumentar además que ese ideal (tenés que ver qué es un ideal propio en ambas pruebas) es realmente un elemento maximal de todo el poset (en ZL no arguments nada ahi, mientras que en HMP requiere escribir un poco más para decir que si no fuera maximal podrías extender la cadena maximal que tomaste).

            Sin embargo, coincido que hay un beneficio psicológico en usar UNA cadena antes que argumentar para una cadena arbitraria (aunque en la práctica sea lo mismo).

  2. Aporto un pequeño ejemplo a la discusión (es algo que vimos la semana pasada en clase). Si $F$ es un módulo libre sobre un PID, entonces todo submódulo $M$ de $F$ es libre (y $\operatorname{rank} M \le \operatorname{rank}F$). La parte “difícil” de la prueba usando ZL o HMP es la misma: uno fija una base $X$ de $F$, considera el subconjunto de partes de $X$ ordenado por inclusión y trata de probar lo siguiente: si $Y \subset X$ y sabemos que $M \cap \langle Y\rangle$ es libre, entonces agregando un elemento $x \in X$ a $Y$, se tiene que $M \cap \langle Y \cup \{x\}\rangle$ también es libre.

    Por eso para mí lo que va acá es darle un buen orden a $X$ y hacer inducción transfinita. Me parece que así queda una prueba mucho más elegante e intuitiva. Lamentablemente, para usar el teorema del buen orden, tendría que dedicarle un buen rato de la clase a esos preliminares, tiempo del cual no siempre dispongo. Así que me decidí por la prueba tradicional. Ahora me arrepiento un poco, me gustaría ver más demostraciones que usen argumentos alternativos.

    • Gracias Silvio!
      Inducción transfinita es el método a usar si el argumento natural se corresponde a agregar cosas “de a uno”. Y de hecho Kunen dice con razón que de esa manera se le da razón de verdad a los otros principios maximales.
      Otra vez, de todos modos, las obligaciones de prueba son exactamente las mismas pero distribuidas de otra manera: la parte “difícil” en el caso de ordinales sucesores, y la existencia de cota en el caso límite.
      De la inducción transfinita hablo en el post sobre Bernstein, pero tal como decís tiene más requisitos previos.

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