La Aritmética de Peano

[Could not find the bibliography file(s) Don Giuseppe Peano publicó en 1889 un libro que incluía una axiomatización de los números naturales $\N$, teniendo algunos antecedentes que cualquier usuario de Wikipedia puede averiguar. Esencialmente, son los siguientes:

1.
Hay un elemento distinguido $0\in\N$.
2.
Hay una función inyectiva $S:\N\to\N$, llamada sucesor, tal que $0$ no está en la imagen de $S$.
3.
(Inducción) Si $P$ es un subconjunto de $\N$ tal que:

1.
$0$ pertenece a $P$.
2.
Para todo $m\in\N$, si $m$ pertenece a $P$, entonces $S(m)$ pertenece a $P$.

Entonces todo $n\in\N$ está en $P$.

Un primer ejercicio para entender Inducción consiste en probar que la imagen de $S$ es $\N\sm\{0\}$.

En algunos textos, se define a $\N$ como el “menor conjunto inductivo”, y para ello asumen previamente la existencia del cuerpo $\R$. Esto no es muy elegante que digamos; los axiomas de arriba tienen elegancia palaciega, pero ello no quita que en un palacio barroco se pueda poner gran cantidad de mugre bajo la alfombra. Más adelante, trataremos de ver cuál es la “suciedad” que nos esconde Peano.

Sobre la estructura $\lb\N,S,0\rb$ se pueden definir las operaciones aritméticas y el orden usuales de los naturales. Antes de seguir conviene aclarar que intuitivamente, $S$ es la operación de “sumar uno”. Por ejemplo, la suma se define de la siguiente manera: \[ \begin{align*} a + 0 &\defi a \\ a + S(m) &\defi S(a+m) \end{align*}\] Para cada $a\in\N$, uno puede considerar $P_a\defi\{m\in\N : a+m \text{ está bien definido}\}$ y usar Inducción para ver que $P_a=\N$. (Si no les agrada este argumento, entonces vamos por buen camino). A continuación, se puede definir \[ m\leq n \sii \exists r : m +r =n, \] etcétera.

Los números naturales son los arquetipos de los objetos finitos. A partir de ellos, surgen la Aritmética, la Combinatoria, etc. Sin embargo, la propia caracterización dada por los axiomas de arriba y la aplicación de los mismos dista mucho de ser finitaria. En la prueba de la buena definición de la suma aparecen infinitos conjuntos infinitos. De hecho, para que los axiomas de Peano tengan sentido, hace falta enunciarlos en un ambiente donde ya estén a mano todos los subconjuntos de $\N$. Esto es iguala en complejidad a $\R$. ¿Cómo escribir una teoría finitaria de los números naturales?

(Envidio a los angloparlantes por un momento. Me faltan sinónimos de “número natural”. Ellos dicen natural numbers, counting numbers, whole numbers,… Y “enteros no negativos” no me cuadra aquí.)

La infinitud yace obviamente en el Principio de Inducción, y más precisamente en la arbitrariedad del conjunto $P$. De hecho, si escribiéramos simbólicamente dicho Principio, empezaría con algo como $\forall P\sbq \N\,(\dots)$ . Una solución rápida es no fijarse en todos los subconjuntos de $\N$, sino los que podemos definir explícitamente. Más aún, conjuntos definidos por propiedades $P(x)$ que no hagan referencia a ningún conjunto infinito.

Una forma natural es restringirse a la lógica de primer orden. Ya di una idea de cómo funciona en otro post; alcanza con decir que es la lógica “común y silvestre” pero donde sólo podemos usar $\forall n\in\N$ y $\exists n\in\N$: no hay cuantificación sobre conjuntos (ni funciones ni nada que no sean variables naturales). Los ladrillos básicos para escribir definiciones son variables, $=$, $+$, $\cdot$ (producto), $0$, los conectivos proposicionales y los cuantificadores sobre $\N$. El Principio de Inducción para conjuntos definibles $\{n\in\N : P(n)\}$ quedaría así:

3′.
Si $P(x)$ es una propiedad de primer orden tal que

1.
$0$ cumple con $P$ (i.e., se da $P(0)$).
2.
Para todo $m\in\N$, si $m$ cumple con $P$, entonces $S(m)$ cumple con $P$.

Entonces todo $n\in\N$ cumple con $P$.

El reemplazo del Principio de Inducción general por este esquema de oraciones de primer orden nos deja con un conjunto de axiomas mucho más débil. En primer lugar, ya no caracteriza a $\N$ a más de isomorfismo. Peor aún, ni siquiera permite demostrar todas las propiedades de la estructura $\lb\N,S,+,\cdot,0\rb$; ni todas sus propiedades de primer orden. ¿Por qué seguir hablando de esta axiomatización tan pero tan fea?

Estos axiomas, que forman una lista infinita de oraciones de primer orden y se conocen como Aritmética de Peano ($\mathit{PA}$ por sus siglas en inglés) cumple exactamente con el objetivo que nos planteamos. Y con creces. El punto es que lo demostrable a partir de dichos axiomas son exactamente las propiedades de la estructura $\lb\N,S,+,\cdot,0\rb$ que pueden ser probadas con métodos finitarios.

Para dar sentido a esta última afirmación, conviene recordar que la inmensa mayoría de resultados matemáticos se puede enunciar y demostrar a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos $\ZFC$ usando la lógica de primer orden. Ahora bien, mediante una codificación apropiada, todos los axiomas de $\ZFC$ menos el de Infinito se pueden demostrar en $\mathit{PA}$. Enunciando la contrarrecíproca, si alguna afirmación sobre $\lb\N,S,+,\cdot,0\rb$ no es demostrable a partir de $\mathit{PA}$, su demostración requiere intrínsecamente el manejo de conjuntos infinitos.

En un próximo post, enunciaré un teorema sobre $\lb\N,S,+,\cdot,0\rb$ que tiene un enunciado finitario (i.e., de primer orden) pero que no tiene prueba finitaria (i.e., $\mathit{PA}$ no lo demuestra).

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