Ayer recibí la estupenda noticia que en el curso de Funciones Reales que se dicta en la FaMAF–UNC, demostraron el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (algunos omiten uno de los nombres, pero en cualquier caso es un teorema con “doble apellido”). Este teorema dice que, dados dos conjuntos $X$ e $Y$, si hay una inyección $f:X\to Y$ y otra $g:Y\to X$, entonces debe haber una biyección entre ambos. Si convenimos en decir que “$X$ tiene al menos el mismo tamaño que $Y$” (para abreviar, $X\leq_c Y$) siempre que $X$ se inyecte en $Y$, entonces el Teorema CSB dice que $\leq_c$ es antisimétrica, módulo una biyección. Y luego es un orden parcial, puesto que es obviamente reflexiva y transitiva. Continue reading
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Problemas señeros (II)
Abstract. This is the second post dedicated to elementary problems with a set-theoretic solution. We discuss the impossibility of an infinite descending chain of sets $\{X_j\}_{j}$ such that $\P(X_{n+1})=X_n$. This is an exercise in Kunen .
El logaritmo no se puede iterar infinitamente
Muy fácil: números reales, operaciones usuales. Específicamente, operaciones que achican. Por ejemplo, “restar 1”. Desde que se inventaron los enteros, nadie teme iterar la operación resto-uno. Es decir, empezando en cualquier número (e.g. el 4) puedo aplicar la operación resto-uno arbitrarias veces y obtengo un resultado significativo. Incluso, infinitamente: puedo armarme una sucesión
\[x_0 \doteq 4 \qquad x_{n+1} \doteq x_n – 1,\]
que fácilmente enumeramos así: $4, 3, 2, 1, 0 , -1, -2,\dots$. Continue reading