El Axioma de Martin

En un post anterior dimos las definiciones básicas de conjuntos densos y filtros genéricos en conjuntos parcialmente ordenados (“posets”), y enunciamos el Teorema de Existencia de Filtro genérico, que copiamos a continuación:

Teorema 1. Si $\mathbb{P}$ es un poset, $\mathcal{D}$ es una familia contable de subconjuntos densos de $\mathbb{P}$ y $p\in\mathbb{P}$, hay un filtro $\mathcal{D}$-genérico $G$ tal que $p\in G$.

La prueba es una construcción recursiva y depende de $\AC$. La siguiente preocupación es saber cuán ajustadas son las hipótesis de este teorema. Por ejemplo, ¿vale si la familia $\mathcal{D}$ no es contable? Respuesta rebuscada: sin salirse del Universo, no.

Ejemplo 1. Sea $J$ un conjunto no numerable cualquiera. Recordemos que el poset $\mathbb{P}\defi\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,J)$ es el conjunto de las funciones de un subconjunto finito de $\N$ a $J$, con la relación de inclusión inversa $\supseteq$. Los conjuntos \[ D_i\defi\{p\in\mathbb{P} : i\in\mathop{\mathrm{dom}} p\} \] y \[ E_j \defi \{p\in\mathbb{P} : j\in\mathop{\mathrm{img}} p\} \] son densos. Si consideramos la familia $\mathcal{D}\defi\{D_n :n \in \N\}\cup\{E_j : j \in J\}$, no podría existir un filtro $\mathcal{D}$-genérico puesto que correspondería con una función sobreyectiva de $\N$ en $J$.

Necesitaremos un par de definiciones más para no repetirnos una y otra vez. (Quizá inapropiado para un blog, extremadamente necesario para la matemática).

Definición 2.

1.
$A\sbq \mathbb{P}$ es una anticadena si sus elementos son incompatibles dos a dos (no hay condición que extienda a dos elementos distintos de $A$ simultáneamente).
2.
$\mathbb{P}$ satisface la condición de cadenas contables o bien “es ccc” si toda anticadena en $\mathbb{P}$ es contable.

Notemos que el poset $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,J)$ es muy “ancho”; su subconjunto $A\defi\{\{\lb 0,j\rb \} :j \in J\}$ es una anticadena no numerable.

Si no hubiera tal anticadena, aún podría existir un filtro genérico.

Definición 3. $\MA(\ka)$ es el enunciado: para todo poset $\mathbb{P}$ ccc y una familia $\mathcal{D}$ de densos en $\mathbb{P}$ con $|\mathcal{D}|\leq\ka$, hay un filtro $\mathcal{D}$-genérico para $\mathbb{P}$.

Luego el Teorema 1 implica $\MA(\ale0)$ (de hecho, sin la hipótesis de ccc).

Lema 4. Si $\ka$ es un cardinal tal que $\MA(\ka)$, entonces $\ka< 2^{\ale0}$.

$2^{\ale0}$ es el cardinal del conjunto de todas las funciones de $\N$ en $\N$. Luego, la interpretación de este resultado es la siguiente: suponiendo $\MA(\ka)$, ninguna familia de funciones de $\N$ en $\N$ indizada por un conjunto $K$ de cardinal $\ka$, puede contener a todas.

Prueba. Sean $\mathbb{P}\defi\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N)$, $K$ un conjunto de tamaño $\ka$, y sean $f_j:\N\to\N$ ($j\in K$) funciones; veremos que hay una función distinta a todas ellas. Definamos $H_j\defi\{p\in\mathbb{P} : \exists n\; p(n)\neq f_j(n)\}$; es fácil ver que son densos. Sea ahora $\mathcal{D}\defi\{D_n : n\in \N\}\cup \{H_j :j \in K\}$. Luego $|\mathcal{D}|=\ka$, así que por $\MA(\ka)$ debe existir un filtro $\mathcal{D}$-genérico $G$ para $\mathbb{P}$. Como antes, $f\defi{\textstyle\bigcup} G$ es una función de $\N$ en $\N$. Basta ver que para todo $j\in K$, $f\neq f_j$.

Para ello, fijemos $j$. Como $G$ es $\mathcal{D}$-genérico, hay un $p\in G\cap H_j$. Luego hay $n\in\N$ tal que $p(n)\neq f_j(n)$. Como $p\sbq f$, $f(n)\neq f_j(n)$, y en conclusión $f\neq f_j$. $\Box$

Finalmente podemos enunciar el Axioma de Martin:

($\MA$)   Para todo $\ka< 2^{\ale0}$, se da $\MA(\ka)$.

El Axioma de Martin logra, en muchas circunstancias, extender propiedades que sabemos que valen para familias contables a cualquier familia de cardinal menor al de $\R$. En particular, tiene consecuencias interesantes para las características cardinales del continuo.

Para terminar, consideremos el comentario “rebuscado” de más arriba y el Ejemplo 1, para el caso particular $J\defi \R$. Fuera de joda, no puede haber una suryección de $\N$ en $\R$…, ¿o sí?

La técnica de forcing permite simular que construimos un filtro genérico $G$ para $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\R)$ que corta a todos sus subconjuntos densos. Ese filtro, y la función $f_G$ asociada a él no pueden estar en nuestro universo de conjuntos actual $V$; podemos pensar que es una función “imaginaria”. Pero $f_G$ pertenece al menor universo que incluye a $V$ y contiene a $G$, $V[G]$, y es una suryección de $\N$ en $\R^V$ (la versión de $V$ de los números reales). Decimos que en la extensión genérica $V[G]$, $|\R|$ colapsa y $\R^V$ pasa a ser un subconjunto numerable de $\R^{V[G]}$.

Sólo una punta del ovillo, seguiré con las provocaciones en posts subsiguientes.

3 thoughts on “El Axioma de Martin

  1. Profe Pedro, buenas noches. Me parece muy interesante la exposición acerca del axioma de Martin. Sin embargo me queda un pequeña duda en el lema 4 y es la siguiente: ¿Por qué se le puede aplicar MA(k) al poset P en esa demostración? No me queda claro por qué ese poset es ccc. Muchas gracias y saludos desde Colombia.

  2. Hola, Juan Pablo. La razón puede sorprender un poco: el conjunto $\mathrm{Fn}(\N,\N)$ es *contable*, así cualquier subconjunto (y en particular las anticadenas) lo es. ¡Un gusto!

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