Aplicaciones del Axioma de Martin

Como prometimos, veremos a continuación algunas aplicaciones del Axioma de Martin. Recordemos que $\CH$ implica (o más bien, “trivializa”) a $\MA$. El Axioma de Martin comparte varias consecuencias de $\CH$, pero por razones distintas. Donde $\CH$ obliga a varias familias a tener cardinal $2^{\ale0}$ por “falta de lugar” (no hay cardinales entre $\ale0$ y $2^{\ale0}$), $\MA$ lo hace porque muestra que dichas familias son muy “ricas”. Volveremos sobre esto.

La primera aplicación será a las características cardinales del continuo. Recordemos que $\mathfrak{b}$ es el menor cardinal de un conjunto de funciones de $\N$ en $\N$ no acotado con la relación de dominación eventual.

Teorema 1. $\MA(\ka)$ implica $\ka< \mathfrak{b}$.
Prueba. Supongamos $|K| =\ka$ y sea $\calF=\{f_j\}_{j\in K}$ una famila de funciones de $\N$ en $\N$. Queremos una $f:\N\to\N$ que las domine a todas. Sea $\mathbb{P}_b$ el conjunto $\{\lb p,A\rb : p\in\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N), A\sbq\calF \text{ finito}\}$ con el siguiente orden: $\lb q,B\rb \leq \lb p,A\rb $ si y sólo si:

1.
$q\supseteq p$,
2.
$B\supseteq A$, y
3.
$\forall n \in \mathop{\mathrm{dom}} q\sm\mathop{\mathrm{dom}} p,\; q(n) >f(n)$, para toda $f\in A$.

La primera coordenada $p$ de un elemento de $\mathbb{P}_b$ nos va aproximando a la $f$ que queremos construir, mientras que la segunda coordenada nos “promete” que toda mejor aproximación dominará a las funciones en $A$. Veamos que $\mathbb{P}_b$ es ccc. Supongamos que $\{\lb p_j,A_j\rb :j\in J\}\sbq\mathbb{P}_b$ es no numerable. Como $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N)$ es contable, hay $j\neq l$ tales que $p_j = p_l$. Luego $\lb p_j, A_j\cup A_\be\rb $ es cota inferior, así que no puede ser una anticadena. Definamos los conjuntos densos relevantes. \[ D_n \defi \{\lb p,A\rb : n \in \mathop{\mathrm{dom}} p\} \text{ es denso en }\mathbb{P}_b. \] Para verlo, sea $\lb q,A\rb \in\mathbb{P}_b$. Si $n\in \mathop{\mathrm{dom}} q$, $q\in D_n$ y no hay nada que probar; sino, sea \[ p\defi q\cup\{\lb n,1+\max\{f(n):f\in A\}\rb \}. \] Entonces $\lb p,A\rb \in D_n$ y es más fuerte que $\lb q,A\rb $. Por otro lado, podemos ver fácilmente que \[ E_f\defi \{\lb q,B\rb : f \in B\} \text{ es denso en }\mathbb{P}_b: \] si $\lb p,A\rb \in\mathbb{P}_b$, entonces $\lb p,A\cup\{f\}\rb \in E_f$ y extiende a $\lb p,A\rb $. Por $\MA(\ka)$, hay un filtro $(\{D_n\}_n\cup\{E_f\}_{f\in\calF})$-genérico $G$. Sea \[ h\defi {\textstyle\bigcup}\{p\in \mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N) : \exists A\, (\lb p,A\rb \in G)\}. \] Luego tenemos lo siguiente:

  • $h$ es función puesto que si $\lb p,A\rb ,\lb q,B\rb \in G$ entonces $p$ y $q$ son compatibles en $ \mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N)$; y
  • es total (usando que $G$ corta a cada $D_n$).

Sea ahora $f\in\calF$; queremos ver que $f< ^* h$. Por genericidad, existe $\lb p,A\rb \in G \cap E_f$, luego $f\in A$. Sea $n\notin\mathop{\mathrm{dom}} p$; nuevamente, por ser $G$ genérico, podemos elegir $\lb q,B\rb \in G$ tal que $n\in\mathop{\mathrm{dom}} q$. Como $G$ es filtro, hay $\lb r,C\rb \in G$ que extiende a $\lb p,A\rb $ y a $\lb q,B\rb $. Como $r\supseteq q$, $n\in \mathop{\mathrm{dom}} r\sm \mathop{\mathrm{dom}} p$. Luego, como $\lb r,C\rb \leq\lb p,A\rb $, obtenemos $r(n)\geq f(n)$. Pero por construcción, $h(n) = r(n)$. En conclusión, $h(n) >f(n)$ para todo $n\notin\mathop{\mathrm{dom}} p$ (un conjunto finito), así que $f< ^* h$. $\Box$

La noción de forzamiento usada en la prueba anterior fue descubierta por Hechler [1].

Corolario 2. $\MA$ implica $\mathfrak{b} = 2^{\ale0}$.

Luego, gracias al Teorema de Solomon, $\MA$ también tiene por consecuencia $\mathfrak{a} = 2^{\ale0}$.

En una primera versión de este post, creí que fijado $\ka< 2^{\ale0}$ y una familia de funciones $\calF$ de ese tamaño, $\MA$ implicaba que el “elemento genérico” de ${}^\N\N$ dominaba a $\calF$. Sin embargo, se puede probar (en $\ZFC$) exactamente lo opuesto: fijada $h:\N\to\N$, el conjunto de las funciones que dominan a $h$ es un conjunto de primera categoría, es decir, un conjunto topológicamente excepcional. Para esto, estamos considerando a $\N$ discreto y a ${}^\N\N$ con la topología producto. Así que esto es un mérito extra de Hechler. Sin embargo $\MA$ sí tiene importantes consecuencias respecto de los “conjuntos excepcionales”:

Teorema 3. $\MA(\ka)$ implica que la unión de $\ka$ conjuntos de primera categoría de $\R$ es de primera categoría.
Teorema 4. $\MA(\ka)$ implica que la unión de $\ka$ conjuntos de medida de Lebesgue $0$ tiene medida nula.

Sabemos que “unión contable de conjuntos contable es contable” (¡Ojo! Esto depende de $\AC$). En particular, $\R$ no es la unión de una cantidad contable de conjuntos contables. El Teorema de König, muestra que $\R$ no es la unión de una cantidad contable de conjuntos de cardinal menor que $2^{\ale0}$. El Teorema 4 permite reforzar este enunciado, cuya prueba es un ejercicio muy lindo.

Corolario 5. $\MA$ implica que $2^{\ale0}$ es regular: $\R$ no es unión de una cantidad menor que $2^{\ale0}$ de conjuntos de cardinal menor que $2^{\ale0}$.

Bibliografía

[1] S. H. Hechler, “On the existence of certain cofinal sets of ${}^\omega\omega$,” in Axiomatic Set Theory, Part 2, D. S. Scott, Ed., American Mathematical Society (1974) 13.2, pp. 155-174. [DOI]
[ www | BibTeX ]

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author = {Hechler, Stephen H.},
title = {On the existence of certain cofinal sets of ${}^\omega\omega$},
pages = {155--174},
booktitle = {Axiomatic Set Theory, Part 2},
series = {Proceedings of Symposia in Pure Mathematics},
volume = {13.2},
editor = {Scott, Dana S.},
publisher = {American Mathematical Society},
year = {1974},
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