Abstract. This is the last post in the informal series on ordinals. We give von Neumann’s definition, and show how arithmetical operations can be defined on ordinals by using recursion. Finally we give a property of well ordered chains of subsets of ${\mathbb N}$ that is not shared by ordinary chains.

Ordinales a la von Neumann

La forma más cómoda de referirse a un tipo de isomorfismo (de cualquier cosa) es ponerse de acuerdo de antemano y elegir representantes para cada familia de objetos isomorfos. La elección “canónica” de representantes de tipos de buenos órdenes se debe a von Neumann, y su particularidad es que sólo utiliza conjuntos y la relación de pertenencia. Diremos que un conjunto $\alpha$ es transitivo si $\forall x\in\alpha$ se tiene $x\subseteq \alpha$.

Por ejemplo, el buen orden $\langle \{1,2,4\},< \rangle $ es isomorfo a $\langle \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\in\rangle $.

En primer lugar, el conjunto vacío (con la “relación de orden” vacía) es un conjunto bien ordenado. Lo tomaremos como representante (en fin, ¡es el único elemento de su clase!). Confundiremos intencionadamente el conjunto vacío $\varnothing$ con el $0$.

$\displaystyle 0\in \mathrm{Ord}$

Suponiendo dado un ordinal $\alpha$, definiremos el sucesor de $\alpha$, denotado $\alpha +1$, como

$\displaystyle \alpha+1 := \alpha\cup \{\alpha\} \in \mathrm{Ord}.$

Resulta que si $\alpha$ es un ordinal, entonces $\langle \alpha+1,\in\rangle $ es un buen orden. Con esto podemos conseguir representantes para cada buen orden sobre un conjunto finito (de hecho, sólo hay un tipo de isomorfismo para cada cardinalidad finita). Una vez que tenemos todos los ordinales finitos

$\displaystyle 0, 0+1, (0+1)+1, ((0+1)+1)+1, \dots$

que por comodidad llamamos

$\displaystyle 0,1,2,3,\dots$

es natural observar que el conjunto formado por todos ellos también está bien ordenado por $\in$, y es transitivo. A este ordinal, que corresponde al orden canónico de ${\mathbb N}$, lo llamaremos $\omega$. En general, se puede probar que si $A$ es un conjunto de ordinales, entonces su unión es un ordinal:

$\displaystyle A\text{ conjunto y }A\subseteq\mathrm{Ord} \implies \textstyle\bigcup A\in \mathrm{Ord}.$

Se puede formalizar este proceso y demostrar que todo buen orden es isomorfo a un conjunto que surge de esta construcción. Es importante notar que es esencial usar el Axioma de Reemplazo para poder probar este teorema, aun para buenos órdenes contables.

En consecuencia, obtenemos los siguientes resultados:

1. Cada ordinal $\alpha$ es el conjunto de todos los ordinales menores.
2. Todo conjunto $A$ de ordinales está incluido propiamente en un ordinal (basta tomar $(\bigcup A) + 1$); y por ende $A$ está bien ordenado por $\in$.
3. Por lo anterior, se puede definir para todo conjunto $A$ de ordinales $\sup A:=\bigcup A$. Esta definición coincide con el supremo de $A$ en cualquier ordinal que contenga a $\bigcup A$.

Diremos que $\alpha$ es un ordinal sucesor si existe $\beta$ tal que $\alpha = \beta +1$. En caso contrario, diremos que $\alpha$ es un ordinal límite.

El Teorema de Buena Ordenación implica que todo conjunto está en biyección con un ordinal. En particular, existe un ordinal $\mathfrak{c}$ biyectivo con ${\mathbb R}$. Sabemos que no hay inyección de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb N}$, así que podemos definir

$\omega_1 := $ menor ordinal perteneciente a $\mathfrak{c}+1$ que no puede ser “inyectado” en ${\mathbb N}$.

Esto tiene sentido, ya que $\langle \mathfrak{c}+1,\in\rangle $ es un buen orden. En particular se deduce que $\omega_1$ es el conjunto de todos los ordinales contables. Podemos aprovechar la ocasión para definir el siguiente concepto central:

Una pregunta surge naturalmente (al menos, surgió en el siglo XIX): si $\omega_1$ no es biyectivo con ${\mathbb N}$ pero es infinito, ¿es biyectivo con ${\mathbb R}$? La respuesta a esta pregunta trasciende los principios en los que está basada actualemente la matemática, y la discusión de ella dio lugar a las investigaciones más creativas en la teoría de conjuntos. La afirmación de que el cardinal de ${\mathbb R}$ es $\omega_1$ se conoce como la Hipótesis del Continuo y fue demostrado por Gödel y Cohen que no se puede refutar ni demostrar (respectivamente) de los axiomas de la teoría de conjuntos. En posts futuros hablaremos de estas dos demostraciones.

Números Transfinitos

Las operaciones de suma, producto, exponenciación y otras nuevas se pueden extender a $\mathrm{Ord}$, mediante definiciones recursivas apropiadas.

$\displaystyle \begin{array}{rlrl} \xi + 0 &:= \xi \\ \xi + (\alpha + 1) &:= (\xi + \alpha) +1 \\ \xi + \lambda &:= \sup \{\xi + \beta : \beta < \lambda\} \end{array} $

$\displaystyle \begin{array}{rlrl} \xi \cdot 0 &:= 0\\ \xi \cdot (\alpha + 1) &:= (\xi \cdot \alpha) + \xi \\ \xi \cdot \lambda &:= \sup \{\xi \cdot \beta : \beta < \lambda\}, \end{array} $

donde $\lambda$ es un ordinal límite. La suma y producto de ordinales son monótonas y asociativas pero no conmutativas:

$\displaystyle \omega = 2 + \omega = 2 * \omega \ \text{ pero } \omega < \omega + 2 < \omega * 2.$

Para concluir esta sección, dejamos un ejemplo de teorema que se extiende de lo finito a lo transfinito.

Entonces se pueden definir ordinales pares, impares, con resto 4 en la división por $\omega$, etcétera.

Sucesiones bien ordenadas de conjuntos

A continuación enunciamos una propiedad de sucesiones monótonas bien ordenadas en $\langle \mathcal{P}({\mathbb N}),\subseteq\rangle $.

Es un ejercicio interesante ver que si uno elimina la hipótesis de buen orden, el resultado no es cierto.

Para mayor información sobre ordinales y Teoría de Conjuntos, se puede consultar [BIBCITE%%0%, BIBCITE%%1%].

Bibliografía

@book{Fraenkel:book,
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title = {Abstract Set Theory},
publisher = {North-Holland},
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address = {{A}msterdam},
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}

@Book{JW-I,
author =  "Winfried Just and Martin Weese",
title =  "Discovering Modern Set Theory. I",
series =  "Grad. Studies in Mathematics",
volume =  "8",
publisher = "American Mathematical Society",
year =  "1996"
}