El miércoles pasado terminamos con el curso Teoría de Conjuntos que dicté en FaMAF–UNC. Estoy muy contento por el resultado, y felicito a los “supervivientes” que llegaron hasta el final.

Una característica de este curso es que abordamos algunos temas que (hasta donde llega mi conocimiento) no se incluyen en los programas de otros similares que se hayan dictado en el país. Entre ellos puedo enumerar:

• el desarrollo de inducción y recursión independientemente del Axioma de Partes;
• una introducción al Axioma de Martin usando características cardinales del continuo;
• el estudio de subconjuntos cerrados no acotados (club) y estacionarios de cardinales regulares; y por último
• los resultados de Ulam sobre el problema de la medida de Lebesgue que motivaron la definición de los cardinales medibles.

La importancia técnica del primer ítem radica en que hace posible definir la noción de rango de un conjunto (una medida de complejidad) y la aritmética ordinal sin apelar al axioma que garantiza la existencia del conjunto de partes de cualquier conjunto. Esto tiene aplicaciones en las pruebas de independencia, igual que el segundo ítem. Sobre este último y el tercero quisiera extenderme en otro momento. Quisiera dedicar el resto de este post al cuarto ítem, porque muestra una de las tantas conexiones ocultas entre el trabajo fundacional y la matemática tradicional.

La tesis doctoral de Lebesgue (1902) tiene un nombre extremadamente elegante: Integral, Longitud, Área. En ella se plantea el problema de definir una función $\la$ que asocie a cada subconjunto acotado de la recta un número real de manera que se cumplan las siguientes propiedades:

1. $\la$ no es idénticamente $0$,
2. $\la$ es invariante por traslaciones (i.e., $\la(X)=\la(X+r)$ para todo conjunto acotado $X$, y
3. $\la$ es contablemente aditiva, es decir, si los $X_n$ ($n\in\om$) son disjuntos dos a dos, $\la(\bigcup_n X_n) = \sum_n \la(X_n)$.

Rápidamente, Vitali (1905) prueba usando $\AC$ que esto es imposible. No obstante, Banach plantea una versión más general del problema, que no es invalidada por su ejemplo:

decidir si hay algún conjunto $E$ tal que exista una función $\mu:\P(E)\to [0,1]$ que satisfaga:

1. $\mu(\emptyset) = 0$ y $\mu(E)=1$,
2. $\mu$ es no trivial: $\mu(\{x\})=0$ para todo $x\in E$, y
3. $\mu$ es contablemente aditiva.

Diremos que $\mu$ es una medida sobre $E$. Para ver que efectivamente es una situación más general, primero basta convencerse que toda $\la$ de arriba está determinada por su valor en $\P([0,1])$, y que la no trivialidad se sigue de la invariancia por traslaciones.

Este nuevo problema todavía podría tener solución para el intervalo unitario. Ulam, también en sus años de doctorado (1929), prueba una dicotomía sorprendente en el caso que el problema de la medida generalizado tenga solución. Para ello, hay que introducir la noción de átomo de una medida. Un subconjunto $A\subseteq E$ es un átomo de $\mu$ si para todo $B\subseteq A$, $\mu(B)\in\{0,\mu(A)\}$. Es decir, $A$ es la representación fidedigna de la injusticia absoluta según $\mu$: partiendo la torta $A$, alguien se queda con prácticamente todo y el resto con migajas.

Ahora bien, una medida sobre $E$ puede o no tener átomos. La presencia de un átomo provee de una solución un tanto espuria al problema; especialmente, si es que estamos pensando, como en el caso de Lebesgue, en obtener una medida “sinceramente continua”, y no sólo desde el punto de vista de los singuletes. En cierto modo, Ulam prueba la recíproca de esta expresión de deseo, y muchísimo más:

Teorema (Ulam). Supongamos que el problema de la medida tiene solución, y que $\ka$ es el menor cardinal de un conjunto $E$ que admita una medida $\mu$. Entonces:

1. Si $\mu$ no tiene átomos, $\ka\leq|\R|$ y $\ka$ es débilmente inaccesible.
2. Si $\mu$ tiene algún átomo,  $\ka$ es un cardinal medible.

En cada caso, las conclusiones son impactantes. En el primero, automáticamente hay solución del problema de la medida para el $[0,1]$ (puesto que el conjunto $E$ se inyecta en el $[0,1]$ y se puede “transferir” la medida). Pero no sólo esto, sino que usando un par de trucos se puede probar que hay una medida $\mu$ definida en todo $\P(\R)$ que extiende a la medida de Lebesgue. Por último, un cardinal débilmente inaccesible es un cardinal no numerable que es límite (i.e., de la forma $\ale{\al}$ con $\al$ un ordinal límite) y regular (que no puede ser expresado como una unión de una cantidad más pequeña de cosas de menor tamaño). A los efectos prácticos, la enumeración de los cardinales infinitos comienza
$$
\ale{0},\ale{1},\ale{2},\dots,\ale{\om},\ale{\om+1},\ale{\om+2},\dots,\ale{\om\cdot2},\ale{\om\cdot2+1},\dots,
$$
donde sólo $\ale{\om}$ y $\ale{\om\cdot2}$ son límite y (justo) los otros son los regulares. De hecho, muuuucho más adelante hay un cardinal $\ka$ que cumple $\ale{\ka} = \ka$, y ese tampoco es regular. Si hubiera un cardinal débilmente inaccesible $\ka$, no sólo cumpliría $\ale{\ka}=\ka$, sino que sería el $\ka$-ésimo cardinal que lo cumple, y mucho más.

Entonces, el primer caso de la dicotomía implica un fallo espectacular de la Hipótesis del Continuo $2^{\ale0}=\ale1$.

Para el segundo caso, la conclusión a nivel de cardinales es aún más poderosa. Un cardinal medible es (fuertemente) inaccesible, que significa que es no numerable, regular y no puede ser alcanzado por “tomar partes” de conjuntos más chicos. Trivialmente, en esta situación, la respuesta para el caso del $[0,1]$ es negativa (puesto que $|[0,1]|=2^{\ale{0}}$ es alcanzable tomando partes de un conjunto de tamaño $\ale{0}$). Pero ahora, un cardinal inaccesible (como su nombre lo indica) no puede alcanzado usando ninguna de las operaciones conjuntistas provistas por los axiomas. Es lo que se denomina un cardinal grande.

De hecho, desde hace unas décadas, se divide el panorama de los cardinales grandes (con una nomenclatura un tanto infantil) entre cardinales grandes chicos y cardinales grandes grandes. Desde un posible enfoque, los cardinales inaccesibles están en el extremo inferior de los cardinales grandes, mientras que los cardinales medibles inauguraron la nueva capa de los cardinales verdaderamente grandes.

Para dar una idea del tamaño de un cardinal medible, apelaremos a una idea de Teoría de… la Medida. Se puede decir que los cardinales inaccesibles no abundan (son mucho menos que los débilmente inaccesibles): diríamos que son, a nuestros ojos humanos, una excepción; un “conjunto despreciable”. Sin embargo, desde la alta perspectiva de una cardinal medible, ve que bajo él hay un conjunto de medida positiva de cardinales inaccesibles; tal es el nivel compresión desde ese horizonte. De hecho, esto que acabamos de describir corresponde a los cardinales de Mahlo, que son otros de la gama baja de cardinales grandes. Nuevamente, desde la perspectiva de un cardinal medible hay un conjunto de medida positiva de cardinales de Mahlo, y un largo etcétera.

Por el Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel, no se puede demostrar que haya un cardinal débilmente inaccesible (ni siquiera eso). Luego el problema de la medida general podría tener solución, pero no lo podremos probar; sólo podríamos construir intuición y aceptar su existencia como un nuevo axioma. Por otro lado, si no la tiene, podríamos encontrar una prueba: por ejemplo, probando que no hay cardinales medibles. Sin embargo, desde 1960 se estudian intensamente estos cardinales (¡y más grandes!) sin llegar a una contradicción. Así que podrían estar ahí, sin que podamos iluminarlos, acechando en los confines.