Comencemos con la definición de límite de primer año de la facultad: $\lim_{x\to 0} f(x) = l$ si y sólo si \[ \forall \ep >0 \exists \del >0 \forall x : 0< |x|< \del \ent |f(x)-l|< \ep. \] De hecho, es una definición complicada (medida en cuantificadores alternados, $\forall\exists\forall$; ninguna natural supera los cinco). Por eso, es más conveniente manejarla jugando.
Primero, la reescribamos ligeramente. \[ \forall \ep \,\exists \del\, \forall x : \phi(\ep,\del,x), \ \ \ \ \ (1)\] donde para acortar hemos llamado $\phi(\ep,\del,x)$ a la fórmula \[ \ep >0 \ent ( \del >0 \y (0< |x|< \del \ent |f(x)-l|< \ep)). \] Supongamos que Abelardo (jugador I) quiere refutar (1), mientras que Eloísa (jugadora II) quiere probarla. Entonces se establece un juego. Las movidas son números reales; Abelardo juega primero y a continuación Eloísa: \[ \begin{array}{rccc} \mathrm{I}: & \ep & & x \\ \mathrm{II}: & & \del \end{array} \] El juego es muy cortito, tiene 3 movidas y luego de que Abelardo juega por segunda vez, ya está decidido quién ganó la partida. Si la terna $\lb\ep,\del,x\rb$ está en el conjunto \[ \{\lb a,b,c\rb \in \R^3 : \phi(a,b,c)\}, \] entonces Eloísa gana; y Abelardo gana en caso contrario (i.e., no hay empates).
La primera observación es que (1) es verdadero si y sólo si Eloísa tiene una estrategia ganadora en el juego recién planteado.
¿Qué sucede si Eloísa no tiene estrategia ganadora? Podemos analizar simbólicamente el asunto. Concluimos que (1) es falso, luego vale su negación: \[ \neg\forall \ep \,\exists \del\, \forall x : \phi(\ep,\del,x). \] Ahora podemos aplicar la Regla de De Morgan para cuantificadores, que dice que al negar un $\forall$, éste cambia a un $\exists$ y la negación pasa para adentro (y dualmente): \[ \exists\ep \,\neg \exists \del\, \forall x : \phi(\ep,\del,x), \] y repitiendo, \[ \exists\ep \,\forall \del\, \exists x : \neg\phi(\ep,\del,x). \]
Esto significa que hay algún movimiento inicial $\ep_0$ de Abelardo, tal que sin importar cuál $\del$ juege Eloísa en segundo lugar, habrá un $x_\del$ que hará ganar la partida a Abelardo. En conclusión, Abelardo tiene una estrategia ganadora.
Ahora supongamos un juego distinto, en el que los mismos jugadores han fijado un conjunto $X\sbq[0,1]$ de antemano y juegan escribiendo “$0.$” en un pizarrón y luego, alternativamente, dígitos decimales: \[ \begin{array}{rcccccc} \mathrm{I}: & a_0 & & a_2 & & \dots \\ \mathrm{II}: & & a_1 & & a_3 & & \dots \end{array} \] En este juego nuevo, Eloísa gana la partida si $0.a_0a_1a_2a_3\dots$ es la expansión decimal de un elemento $a$ de $X$. Este juego se llama $G(X)$.
¿Qué significa ahora que Eloísa tenga estrategia ganadora? Esto significa que sin importar cuál $a_0$ juegue Abelardo por primera vez, habrá un $a_1$ para que ella mueva tal que para todo $a_2$ jugado por Abelardo, existirá un $a_3$, …, tal que al final de la partida, $a\in X$. Intuitivamente, si es cierta esta “fórmula”: \[ \forall a_0 \exists a_1 \forall a_2 \exists a_3 \forall a_4 \dots : a \in X \] Nuevamente, el hecho de que Eloísa no tenga estrategia ganadora es la negación de lo anterior, \[ \neg\forall a_0 \exists a_1 \forall a_2 \exists a_3 \forall a_4 \dots : a \in X, \] y aplicando De Morgan, obtenemos \[ \exists a_0 \forall a_1 \exists a_2 \forall a_3 \exists a_4 \dots : \neg(a \in X), \] es decir, Abelardo tiene una estrategia ganadora. Muy bien.
Bien. En realidad no tanto. De hecho, muy mal: usando el Axioma de Elección de una manera esencial, se puede definir un $X$ tal que ninguno de los dos jugadores tenga estrategia ganadora en $G(X)$. Es decir, que Eloísa no tenga estrategia ganadora no implica que Abelardo la tenga. Luego, la demostración anterior está mal, y el error es creer que aunque De Morgan nos permita atravesar una cantidad arbitraria pero finita de cuantificadores, nos permita hacerlo para una cantidad infinita de ellos.
Digamos que un conjunto $X$ está determinado si alguno de los dos jugadores tiene estrategia ganadora en $G(X)$. Para un juego muy similar al que planteamos, un conjunto no determinado es el conjunto de Bernstein.
Pero lo más interesante no es este resultado negativo, sino el siguiente resultado magnífico de D. A. Martin (el del axioma):
De hecho, el teorema vale (más en general) cuando las movidas son en un conjunto arbitrario $A$ en lugar del $\{0,\dots,9\}$, y el resultado de la partida es directamente la sucesión $\lb a_0a_1a_2a_3\dots\rb\in A^\N$. Este teorema es súmamente especial para la Teoría de Conjuntos, puesto que es uno de los pocos resultados netamente matemáticos que requiere el uso del Axioma de Reemplazo.