Aplicaciones del Axioma de Martin

Prueba. Supongamos $|K| =\ka$ y sea $\calF=\{f_j\}_{j\in K}$ una famila de funciones de $\N$ en $\N$. Queremos una $f:\N\to\N$ que las domine a todas. Sea $\mathbb{P}_b$ el conjunto $\{\lb p,A\rb : p\in\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N), A\sbq\calF \text{ finito}\}$ con el siguiente orden: $\lb q,B\rb \leq \lb p,A\rb $ si y sólo si:

1.

$q\supseteq p$,

2.

$B\supseteq A$, y

3.

$\forall n \in \mathop{\mathrm{dom}} q\sm\mathop{\mathrm{dom}} p,\; q(n) >f(n)$, para toda $f\in A$.

La primera coordenada $p$ de un elemento de $\mathbb{P}_b$ nos va aproximando a la $f$ que queremos construir, mientras que la segunda coordenada nos “promete” que toda mejor aproximación dominará a las funciones en $A$. Veamos que $\mathbb{P}_b$ es ccc. Supongamos que $\{\lb p_j,A_j\rb :j\in J\}\sbq\mathbb{P}_b$ es no numerable. Como $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N)$ es contable, hay $j\neq l$ tales que $p_j = p_l$. Luego $\lb p_j, A_j\cup A_\be\rb $ es cota inferior, así que no puede ser una anticadena. Definamos los conjuntos densos relevantes. \[ D_n \defi \{\lb p,A\rb : n \in \mathop{\mathrm{dom}} p\} \text{ es denso en }\mathbb{P}_b. \] Para verlo, sea $\lb q,A\rb \in\mathbb{P}_b$. Si $n\in \mathop{\mathrm{dom}} q$, $q\in D_n$ y no hay nada que probar; sino, sea \[ p\defi q\cup\{\lb n,1+\max\{f(n):f\in A\}\rb \}. \] Entonces $\lb p,A\rb \in D_n$ y es más fuerte que $\lb q,A\rb $. Por otro lado, podemos ver fácilmente que \[ E_f\defi \{\lb q,B\rb : f \in B\} \text{ es denso en }\mathbb{P}_b: \] si $\lb p,A\rb \in\mathbb{P}_b$, entonces $\lb p,A\cup\{f\}\rb \in E_f$ y extiende a $\lb p,A\rb $. Por $\MA(\ka)$, hay un filtro $(\{D_n\}_n\cup\{E_f\}_{f\in\calF})$-genérico $G$. Sea \[ h\defi {\textstyle\bigcup}\{p\in \mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N) : \exists A\, (\lb p,A\rb \in G)\}. \] Luego tenemos lo siguiente:

• $h$ es función puesto que si $\lb p,A\rb ,\lb q,B\rb \in G$ entonces $p$ y $q$ son compatibles en $ \mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N)$; y
• es total (usando que $G$ corta a cada $D_n$).

Sea ahora $f\in\calF$; queremos ver que $f< ^* h$. Por genericidad, existe $\lb p,A\rb \in G \cap E_f$, luego $f\in A$. Sea $n\notin\mathop{\mathrm{dom}} p$; nuevamente, por ser $G$ genérico, podemos elegir $\lb q,B\rb \in G$ tal que $n\in\mathop{\mathrm{dom}} q$. Como $G$ es filtro, hay $\lb r,C\rb \in G$ que extiende a $\lb p,A\rb $ y a $\lb q,B\rb $. Como $r\supseteq q$, $n\in \mathop{\mathrm{dom}} r\sm \mathop{\mathrm{dom}} p$. Luego, como $\lb r,C\rb \leq\lb p,A\rb $, obtenemos $r(n)\geq f(n)$. Pero por construcción, $h(n) = r(n)$. En conclusión, $h(n) >f(n)$ para todo $n\notin\mathop{\mathrm{dom}} p$ (un conjunto finito), así que $f< ^* h$. $\Box$