El Axioma de Martin

En un post anterior dimos las definiciones básicas de conjuntos densos y filtros genéricos en conjuntos parcialmente ordenados (“posets”), y enunciamos el Teorema de Existencia de Filtro genérico, que copiamos a continuación:

Teorema 1. Si $\mathbb{P}$ es un poset, $\mathcal{D}$ es una familia contable de subconjuntos densos de $\mathbb{P}$ y $p\in\mathbb{P}$, hay un filtro $\mathcal{D}$-genérico $G$ tal que $p\in G$.

La prueba es una construcción recursiva y depende de $\AC$. La siguiente preocupación es saber cuán ajustadas son las hipótesis de este teorema. Por ejemplo, ¿vale si la familia $\mathcal{D}$ no es contable? Respuesta rebuscada: sin salirse del Universo, no.

Ejemplo 1. Sea $J$ un conjunto no numerable cualquiera. Recordemos que el poset $\mathbb{P}\defi\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,J)$ es el conjunto de las funciones de un subconjunto finito de $\N$ a $J$, con la relación de inclusión inversa $\supseteq$. Los conjuntos \[ D_i\defi\{p\in\mathbb{P} : i\in\mathop{\mathrm{dom}} p\} \] y \[ E_j \defi \{p\in\mathbb{P} : j\in\mathop{\mathrm{img}} p\} \] son densos. Si consideramos la familia $\mathcal{D}\defi\{D_n :n \in \N\}\cup\{E_j : j \in J\}$, no podría existir un filtro $\mathcal{D}$-genérico puesto que correspondería con una función sobreyectiva de $\N$ en $J$.

Necesitaremos un par de definiciones más para no repetirnos una y otra vez. (Quizá inapropiado para un blog, extremadamente necesario para la matemática).

Definición 2.

1.
$A\sbq \mathbb{P}$ es una anticadena si sus elementos son incompatibles dos a dos (no hay condición que extienda a dos elementos distintos de $A$ simultáneamente).
2.
$\mathbb{P}$ satisface la condición de cadenas contables o bien “es ccc” si toda anticadena en $\mathbb{P}$ es contable.

Notemos que el poset $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,J)$ es muy “ancho”; su subconjunto $A\defi\{\{\lb 0,j\rb \} :j \in J\}$ es una anticadena no numerable.

Si no hubiera tal anticadena, aún podría existir un filtro genérico.

Definición 3. $\MA(\ka)$ es el enunciado: para todo poset $\mathbb{P}$ ccc y una familia $\mathcal{D}$ de densos en $\mathbb{P}$ con $|\mathcal{D}|\leq\ka$, hay un filtro $\mathcal{D}$-genérico para $\mathbb{P}$.

Luego el Teorema 1 implica $\MA(\ale0)$ (de hecho, sin la hipótesis de ccc).

Lema 4. Si $\ka$ es un cardinal tal que $\MA(\ka)$, entonces $\ka< 2^{\ale0}$.

$2^{\ale0}$ es el cardinal del conjunto de todas las funciones de $\N$ en $\N$. Luego, la interpretación de este resultado es la siguiente: suponiendo $\MA(\ka)$, ninguna familia de funciones de $\N$ en $\N$ indizada por un conjunto $K$ de cardinal $\ka$, puede contener a todas.

Prueba. Sean $\mathbb{P}\defi\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\N)$, $K$ un conjunto de tamaño $\ka$, y sean $f_j:\N\to\N$ ($j\in K$) funciones; veremos que hay una función distinta a todas ellas. Definamos $H_j\defi\{p\in\mathbb{P} : \exists n\; p(n)\neq f_j(n)\}$; es fácil ver que son densos. Sea ahora $\mathcal{D}\defi\{D_n : n\in \N\}\cup \{H_j :j \in K\}$. Luego $|\mathcal{D}|=\ka$, así que por $\MA(\ka)$ debe existir un filtro $\mathcal{D}$-genérico $G$ para $\mathbb{P}$. Como antes, $f\defi{\textstyle\bigcup} G$ es una función de $\N$ en $\N$. Basta ver que para todo $j\in K$, $f\neq f_j$.

Para ello, fijemos $j$. Como $G$ es $\mathcal{D}$-genérico, hay un $p\in G\cap H_j$. Luego hay $n\in\N$ tal que $p(n)\neq f_j(n)$. Como $p\sbq f$, $f(n)\neq f_j(n)$, y en conclusión $f\neq f_j$. $\Box$

Finalmente podemos enunciar el Axioma de Martin:

($\MA$)   Para todo $\ka< 2^{\ale0}$, se da $\MA(\ka)$.

El Axioma de Martin logra, en muchas circunstancias, extender propiedades que sabemos que valen para familias contables a cualquier familia de cardinal menor al de $\R$. En particular, tiene consecuencias interesantes para las características cardinales del continuo.

Para terminar, consideremos el comentario “rebuscado” de más arriba y el Ejemplo 1, para el caso particular $J\defi \R$. Fuera de joda, no puede haber una suryección de $\N$ en $\R$…, ¿o sí?

La técnica de forcing permite simular que construimos un filtro genérico $G$ para $\mathop{\mathrm{Fn}}(\N,\R)$ que corta a todos sus subconjuntos densos. Ese filtro, y la función $f_G$ asociada a él no pueden estar en nuestro universo de conjuntos actual $V$; podemos pensar que es una función “imaginaria”. Pero $f_G$ pertenece al menor universo que incluye a $V$ y contiene a $G$, $V[G]$, y es una suryección de $\N$ en $\R^V$ (la versión de $V$ de los números reales). Decimos que en la extensión genérica $V[G]$, $|\R|$ colapsa y $\R^V$ pasa a ser un subconjunto numerable de $\R^{V[G]}$.

Sólo una punta del ovillo, seguiré con las provocaciones en posts subsiguientes.

3 thoughts on “El Axioma de Martin”

  1. Pingback: Lecturas iniciales en Teoría de Conjuntos | Pedro Sánchez Terraf ~

  2. Profe Pedro, buenas noches. Me parece muy interesante la exposición acerca del axioma de Martin. Sin embargo me queda un pequeña duda en el lema 4 y es la siguiente: ¿Por qué se le puede aplicar MA(k) al poset P en esa demostración? No me queda claro por qué ese poset es ccc. Muchas gracias y saludos desde Colombia.

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  3. Hola, Juan Pablo. La razón puede sorprender un poco: el conjunto $\mathrm{Fn}(\N,\N)$ es *contable*, así cualquier subconjunto (y en particular las anticadenas) lo es. ¡Un gusto!

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