Nociones de Forzamiento

La técnica de forcing o forzamiento permite construir objetos mediante aproximaciones. En general es muy difícil o imposible dar una descripción completa del objeto a construir, pero esto no significa que no haya uno: muchas veces son la mayoría, y la gran idea detrás del forcing es que el objeto “genérico” cumplirá con los requerimientos, con una noción adecuada de genericidad. El Axioma de Martin ($\MA$) asegura que hay objetos genéricos para una variedad de situaciones, y su desarrollo fue en gran medida simultáneo con el forcing. Por eso ahora se usa $\MA$ para motivar este último. Continue reading

Fuerza de Consistencia

En una serie de posts de Facebook, un compañero de la facultad comentaba sobre la posibilidad de que la Conjetura de Goldbach sea independiente de los axiomas de la matemática. Yo creo que no es el caso, y supongo que los expertos que conocen de ambos temas coinciden conmigo, pero de todos modos es interesante que surja esta discusión.

En algún momento, se hizo una comparación con la geometría plana:

El caso de la geometria euclidea o no euclidea se trató porque justamente el quinto “axioma” no era tan necesario para describir una geometría global. Pero no es que las matemáticas vayan a ser distintas!

Es decir, puede haber varias geometrías (euclídeas o no) pero sólo una matemática, la verdadera. Sin embargo, los “nuevos axiomas” (como los que se presentan en este artículo de Quanta del año 2013) abren la posibilidad de elegir entre “dos matemáticas” distintas: una, en la que el universo matemático tiene cierta “canonicidad” (es una generalización del “universo constructible”, también desarrollado por Gödel); y otra, en la que el universo admite una propiedad de “completitud” (generalización del Teorema de Categoría de Baire).

En el primero vale la Hipótesis del Continuo; en el segundo, su negación. ¿Cuál es la verdadera?

depende de lo que aceptemos? o depende del universo?

Justamente: depende. Por eso hay que tener cuidado con el término “verdadero” en matemática. Hay objetos sobre los que hemos construido gran intuición (v.g., $\N$ y la aritmética), y es casi imposible hacer algún tipo de matemática sin creer en la “existencia” (mejor: consistencia) de los números naturales. Pero no mucho más allá: nuestro ojo matemático no ha podido ver de forma definida, o completa, otros objetos. Entender las “verdades” del objeto $\P(\P(\N))$ parece escapar (por ahora) de nuestro entendimiento; tanto, que algunos plantean que dicho conjunto de partes no existe. Por otro lado, es sorprendente la cantidad de matemática que habla (en el fondo) solamente de la estructura $(\N,\P(\N),+,\cdot)$; esto es el punto de la matemática reversa .

Un conjunto de axiomas es consistente si a partir de ellos no se deduce una contradicción, es decir, una expresión y su negación. Mediante una fina codificación inventada por Gödel, un conjunto de axiomas que permita expresar a la aritmética puede hablar internamente de demostraciones y por ende de consistencia; incluso, puede formular un enunciado $\Phi$ que representa a su propia consistencia. Ahora, su Segundo Teorema de Incompletidud dice que tal conjunto de axiomas no puede probar $\Phi$, i.e. su consistencia, si la tuviera. Pero sí podría probar su inconsistencia; simplemente, mostrando (la codificación de) una demostración que lleva a contradicción. Entonces, la búsqueda definitiva es justamente esa: la de la inconsistencia. Agregando axiomas cada vez más poderosos a los axiomas usuales de la matemática (como los axiomas de “cardinales grandes”), la capacidad de prueba aumenta; en particular, $\ZFC$ junto a cualquier axioma de cardinal grande $\mathit{CG}$ pueden demostrar “$\ZFC$ es consistente”. Decimos entonces que $\ZFC + \mathit{CG}$ tiene más fuerza de consistencia que $\ZFC$.

Y para la búsqueda de axiomas nuevos, cada vez más potentes, hay un máximo absoluto. A partir de la inconsistencia se puede demostrar cualquier cosa. Por eso no nos sirve. Mientras no la alcancemos, por más que subamos por la vertiginosa escalera de los cardinales, nuestra seguridad en nuestros fundamentos ($\ZFC$ y la Aritmética) se acrecentará.

Una buena elección de cardinal

Ayer recibí la estupenda noticia que en el curso de Funciones Reales que se dicta en la FaMAFUNC, demostraron el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (algunos omiten uno de los nombres, pero en cualquier caso es un teorema con “doble apellido”). Este teorema dice que, dados dos conjuntos $X$ e $Y$, si hay una inyección $f:X\to Y$ y otra $g:Y\to X$, entonces debe haber una biyección entre ambos. Si convenimos en decir que “$X$ tiene al menos el mismo tamaño que $Y$” (para abreviar, $X\leq_c Y$) siempre que $X$ se inyecte en $Y$, entonces el Teorema CSB dice que $\leq_c$ es antisimétrica, módulo una biyección. Y luego es un orden parcial, puesto que es obviamente reflexiva y transitiva. Continue reading

Aside

Existen diferentes tamaños de infinito

English version below

Debo hacer muchísimas tareas, pero es imposible evitar demorarme diez minutos en esto. Y lamento de antemano que probablemente sólo sean profesionales de la matemática quienes lean estas breves líneas.

(Cantor, ca. 1874) No todos los conjuntos infinitos son iguales. Hay diversidad de infinitos, en tanto número. En cantidad, hay más puntos en una recta que números naturales.

Hoy, en el colectivo hacia mi trabajo, venía corrigiendo typos de mi apunte de Teoría de Conjuntos. Un jovencito sintió curiosidad y me preguntó qué era. Le expliqué que era un curso de posgrado, también para últimos años de Licenciatura, y a modo ilustrativo, le comenté el resultado de Cantor. Obviamente, no lo conocía, pero lo entendió instantáneamente. Lo contrasté con el hecho que hay igualdad de número entre los puntos de la recta y los del plano, como también entre los naturales y los enteros.

Luego de casi siglo y medio, esto es una pieza de la cultura universal. Hay que universalizarlo, y esto trasciende mi natural apología por la Teoría de Conjuntos. Regálenlo a todos los que quieran. Continue reading

Características del Continuo

Imagino que casi cualquiera que haya pasado por este blog estará al tanto de que hay problemas en Teoría de Conjuntos que son independientes de los axiomas actualmente aceptados ($\mathit{ZFC}$). El más famoso, por lejos, es la

Hipótesis del Continuo ($\mathit{CH}$): Todo subconjunto no numerable de $\mathbb{R}$ es biyectivo con $\mathbb{R}$.

El cardinal de $\mathbb{N}$ se escribe $\aleph_0$ y se puede probar que hay un mínimo cardinal no numerable, $\aleph_1$. El cardinal de $\mathbb{R}$ es igual al cardinal de todas las funciones de $\mathbb{N}$ en $2=\{0,1\}$, y por ello lo llamamos $2^{\aleph_0}$, o bien $\mathfrak{c}$ (por “el continuo”). Como $\mathbb{R}$ no es numerable, tiene subconjuntos de tamaño $\aleph_1$. Por tal motivo, la forma más cortita de enunciar $\mathit{CH}$ es escribir $2^{\aleph_0} =\aleph_1$: no hay cardinales entre el de $\mathbb{N}$ y el de $\mathbb{R}$. Continue reading

Congreso “Dr. Antonio Monteiro” 2017

XIII Congreso MonteiroDel 31 de mayo al 2 de junio de 2017 se realizará en la ciudad de Bahía Blanca el XIII Congreso “Dr. Antonio Monteiro”, dedicado a Lógica en esta edición. Asimismo, habrá sesiones de comunicaciones temáticas en todas las áreas (Álgebra, Análisis, Geometría, Probabilidad y Estadística, Lógica y Matemática Aplicada).

Esta es una ocasión muy especial para mí porque daré un minicurso (de aproximadamente 4 horas) sobre un tema de Teoría de Conjuntos: el Axioma de Martin. Por ahora sólo puedo compartir el resumen del cursito, y con un poco más de tiempo contaré más sobre el tema (ya lo prometí en otro post). De hecho, gran parte del material está en un apunte del curso que di el año pasado (aún en edición), pero hay que adaptarlo para que tenga sentido para un minicurso (que es, más o menos, ¡el mismo trabajo que para adaptarlo para la web!).

A continuación, el resumen:

El enunciado del Axioma de Martin (MA) involucra conjuntos parcialmente ordenados y afirma la existencia de subconjuntos “genéricos” de los mismos. Es una consecuencia de la Hipótesis del Continuo de Cantor, y como ella es independiente del resto de los axiomas usuales de la Teoría de Conjuntos (o “la matemática”, dependiendo del punto de vista). Discutiremos aplicaciones de MA a problemas combinatorios, de Teoría de la Medida muy básicos y aritmética cardinal. Sin embargo, el mayor interés en MA radica en que sus preliminares coinciden en gran medida con los de la técnica de forzamiento (forcing), introducida por Cohen en 1963 y que sigue siendo la herramienta más importante de investigación en Teoría de Conjuntos.

¡Espero verlos por ahí!

Models of the Universe

I promised my friend Zoltán a translation of an older post in Spanish, Modelos del Universo, so here it is. It is almost a literal version.


After some reflection on independence proofs in Set Theory using the method of forcing, one of my conclusions was that it should not be too counterintuitive the fact of adding a new set, i.e., a set not obtainable from previous existing ones using the already established operations of set construction.  For instance, we don’t feel any remorse for taking an arbitrary ring $k$ and adjoining an element transcendental over it, obtaining $k[x]$. Continue reading

Exitoso fin de curso

El miércoles pasado terminamos con el curso Teoría de Conjuntos que dicté en FaMAFUNC. Estoy muy contento por el resultado, y felicito a los “supervivientes” que llegaron hasta el final.

Una característica de este curso es que abordamos algunos temas que (hasta donde llega mi conocimiento) no se incluyen en los programas de otros similares que se hayan dictado en el país. Entre ellos puedo enumerar:

  • el desarrollo de inducción y recursión independientemente del Axioma de Partes;
  • una introducción al Axioma de Martin usando características cardinales del continuo;
  • el estudio de subconjuntos cerrados no acotados (club) y estacionarios de cardinales regulares; y por último
  • los resultados de Ulam sobre el problema de la medida de Lebesgue que motivaron la definición de los cardinales medibles.

La importancia técnica del primer ítem radica en que hace posible definir la noción de rango de un conjunto (una medida de complejidad) y la aritmética ordinal sin apelar al axioma que garantiza la existencia del conjunto de partes de cualquier conjunto. Esto tiene aplicaciones en las pruebas de independencia, igual que el segundo ítem. Sobre este último y el tercero quisiera extenderme en otro momento. Quisiera dedicar el resto de este post al cuarto ítem, porque muestra una de las tantas conexiones ocultas entre el trabajo fundacional y la matemática tradicional. Continue reading

Set partition, from Wikimedia Commons

Brevísimo panorama de la Teoría de Conjuntos

Como parte de un plan de trabajo que debí presentar recientemente, incluí una cortísima reseña sobre teoría de conjuntos. Aprovecho el trabajo hecho para compartirla por aquí.


La Teoría de Conjuntos (TC) tiene un doble rol en la matemática: es a la vez su fundamento y dentro de ella es un área de investigación vigente.

En su primera faceta, la TC surgió de entre varios enfoques alternativos (teoría de tipos y el intuicionismo) como respuesta a las contradicciones internas (antinomias) que sacudieron las bases de la matemática a principios del siglo XX. Con el tiempo se estableció como la opción que más se ajustaba a la práctica matemática usual, cristalizándose en los axiomas de Zermelo y Fraenkel con Elección ($\ZF + C = \ZFC$). Continue reading