Corset para el arte

El pasado 3 de octubre di una conferencia para todo público sobre “música y matemática”, durante la Olimpiada de Literatura y Matemática organizada por OMA, en la ciudad de La Falda. La charla fue un tanto larga, pero me voy a concentrar en un momento de la misma.

Gracias Luigi Finetti por la foto

Discutí no sin impericia sobre la posibilidad de que haya matemática (algo “rígido”), o reglas, en el arte (naturalmente libre). Continue reading

Tres niveles

Un joven compañero de cátedra me preguntó al salir de dar clases, “y ahora, ¿a pensar un poco?”. Le contesté que tendría que ocuparme inmediatamente de alguna burocracia.

Tenía que juntarme a organizar los detalles de la reunión anual de la UMA. Eso sería burocracia de primer nivel.

También tenía que corregir un plan de trabajo para un subsidio a la investigación que estoy por pedir. Burocracia de segundo nivel.

En el tercer nivel de burocracia, y tercero en orden de urgencias, corregir un borrador de un trabajo para enviárselo a unos colegas canadienses.

De ahí a “pensar”… Bueno, se va pareciendo de a poco. Capaz pueda llegar esta semana.

La Aritmética de Peano

Don Giuseppe Peano publicó en 1889 un libro que incluía una axiomatización de los números naturales $\N$, teniendo algunos antecedentes que cualquier usuario de Wikipedia puede averiguar. Esencialmente, son los siguientes:

1.
Hay un elemento distinguido $0\in\N$.
2.
Hay una función inyectiva $S:\N\to\N$, llamada sucesor, tal que $0$ no está en la imagen de $S$.
3.
(Inducción) Si $P$ es un subconjunto de $\N$ tal que:

1.
$0$ pertenece a $P$.
2.
Para todo $m\in\N$, si $m$ pertenece a $P$, entonces $S(m)$ pertenece a $P$.

Entonces todo $n\in\N$ está en $P$.

Un primer ejercicio para entender Inducción consiste en probar que la imagen de $S$ es $\N\sm\{0\}$.

En algunos textos, se define a $\N$ como el “menor conjunto inductivo”, y para ello asumen previamente la existencia del cuerpo $\R$. Esto no es muy elegante que digamos; los axiomas de arriba tienen elegancia palaciega, pero ello no quita que en un palacio barroco se pueda poner gran cantidad de mugre bajo la alfombra. Más adelante, trataremos de ver cuál es la “suciedad” que nos esconde Peano. Continue reading

Juegos y De Morgan

Comencemos con la definición de límite de primer año de la facultad: $\lim_{x\to 0} f(x) = l$ si y sólo si \[ \forall \ep >0 \exists \del >0 \forall x : 0< |x|< \del \ent |f(x)-l|< \ep. \] De hecho, es una definición complicada (medida en cuantificadores alternados, $\forall\exists\forall$; ninguna natural supera los cinco). Por eso, es más conveniente manejarla jugando.
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Bernstein

Felix Bernstein ha dado su nombre a diversos resultados (insisto, diversos: desde la Teoría de Conjuntos a la genética). Forma, por ejemplo, una tríada junto a Cantor y Schröder en el teorema que prueba que la relación de comparación de cardinales es antisimétrica. Pero quiero dedicarme en este post a los “conjuntos de Bernstein”. Continue reading

Lecturas iniciales en Teoría de Conjuntos

En sólo un día y medio comenzará el Congreso Monteiro, y con la suerte de tener el marco de un nutrido menú de charlas plenarias muy interesantes, también comenzará mi pequeño curso sobre el Axioma de Martin ($\MA$).

En la web del congreso están subidas las notas del curso, que esencialmente contienen los últimos posts del blog sobre el tema. Como un extra, quise cerrarlas con algunas recomendaciones de lectura; o más bien, mis pareceres al ver algunos libros. Se las comparto a continuación. Continue reading

Aplicaciones del Axioma de Martin

Como prometimos, veremos a continuación algunas aplicaciones del Axioma de Martin. Recordemos que $\CH$ implica (o más bien, “trivializa”) a $\MA$. El Axioma de Martin comparte varias consecuencias de $\CH$, pero por razones distintas. Donde $\CH$ obliga a varias familias a tener cardinal $2^{\ale0}$ por “falta de lugar” (no hay cardinales entre $\ale0$ y $2^{\ale0}$), $\MA$ lo hace porque muestra que dichas familias son muy “ricas”. Volveremos sobre esto. Continue reading

El Axioma de Martin

En un post anterior dimos las definiciones básicas de conjuntos densos y filtros genéricos en conjuntos parcialmente ordenados (“posets”), y enunciamos el Teorema de Existencia de Filtro genérico, que copiamos a continuación:

Teorema 1. Si $\mathbb{P}$ es un poset, $\mathcal{D}$ es una familia contable de subconjuntos densos de $\mathbb{P}$ y $p\in\mathbb{P}$, hay un filtro $\mathcal{D}$-genérico $G$ tal que $p\in G$.

La prueba es una construcción recursiva y depende de $\AC$. La siguiente preocupación es saber cuán ajustadas son las hipótesis de este teorema. Por ejemplo, ¿vale si la familia $\mathcal{D}$ no es contable? Respuesta rebuscada: sin salirse del Universo, no. Continue reading