Bernstein

Felix Bernstein ha dado su nombre a diversos resultados (insisto, diversos: desde la Teoría de Conjuntos a la genética). Forma, por ejemplo, una tríada junto a Cantor y Schröder en el teorema que prueba que la relación de comparación de cardinales es antisimétrica. Pero quiero dedicarme en este post a los “conjuntos de Bernstein”.

Un subconjunto $B$ de $\R$ es un conjunto de Bernstein si tanto $B$ como su complemento corta a cada cerrado no numerable. Esta propiedad hace que los conjuntos de Bernstein sean bastante fieros, o en términos más finos, “irregulares”. Por ejemplo, tal $B$ no puede ser medible Lebesgue. Veámoslo por el absurdo: si $m(B)=0$, entonces debe haber un cerrado $F\sbq \R\sm B$ de medida positiva, y luego no numerable. Pero esto contradice el hecho de que $F\cap B \neq \emptyset$. Si $m(B) >0$, entonces hay un $F\sbq B$ no numerable. Nuevamente, una contradicción porque $\R\sm B$ debe cortar a $F$.

A continuación vamos a construir un conjunto de Bernstein. Lo haremos intuitivamente, o más bien, descuidadamente, y luego veremos qué necesitamos para que el argumento realmente funcione.

No es dificil ver que hay tantos abiertos en $\R$ como puntos; luego hay tantos cerrados no numerables como elementos de $\R$ (puesto que todo intervalo $[a,\infty)$ es un cerrado no numerable). Entonces podemos enumerar todos los cerrados no numerables en una lista $\{F_i\}_{i\in I}$, donde el cojunto de índices $I$ es biyectivo con $\R$.

Para comenzar a construir el conjunto de Bernstein, sea $i_0\in I$ y elijamos arbitrariamente dos puntos distintos $a_{i_0}$ y $b_{i_0}$ en $F_{i_0}$. Y luego procedamos recursivamente: suponiendo que ya definimos los $a_j$ y $b_j$ con $j\in J\subset I$, tomemos $i\in I\sm J$ y elijamos arbitrariamente dos puntos distintos $a_i,b_i$ en \[ F_i\sm \bigl(\{a_j : i \in J\}\cup\{b_j : i \in J\}\bigr). \ \ \ \ \ (1)\] Cuando terminemos con $I$, $\{a_i : i\in I\}$ será un conjunto de Bernstein (puesto que es disjunto de $\{b_i : i\in I\}$ por construcción y ambos cortan cada cerrado no numerable).

Presentaré los requisitos de esta construcción como algunas “objeciones”.

¿Cómo elijo el “siguiente” $i$ a ser considerado en el paso recursivo? Ésta es la pregunta más sustancial, puesto que para que una construcción recursiva como la de arriba termine con seguridad (i.e., agotemos $I$), sería conveniente que dado $J\subset I$ haya un $i$ unívocamente determinado para continuar. Si ponemos a $I$ un buen orden $< $, esto es fácil. Nuestro primer índice $i_0$ será el menor elemento, y siempre podremos considerar como el siguiente índice al “menor $i$ que no hayamos considerado” (i.e., $\min I\sm J$).

¿Por qué el conjunto en (1) tiene al menos dos elementos? La respuesta se obtiene usando un poco de Teoría de Conjuntos Descriptiva. En ella se prueba que

(*) Todo cerrado no numerable es biyectivo con $\R$.

(o dicho de otro modo, todo cerrado de $\R$ satisface la Hipótesis del Continuo). Como $J$ no es todo $I$, entonces el conjunto $\{a_j : i \in J\}\cup\{b_j : i \in J\}$ no es biyectivo con $\R$, luego hay infinitos puntos en la diferencia (1).

Un momento… ¿Acaso nunca $J\subset I$ será biyectivo con $\R$? Hay maneras de elegir “mal” el buen orden $\lb I,< \rb$. Por ejemplo, bien-ordenemos $(-\infty,0)$ y $[0,\infty)$ por separado y pongamos esos dos buenos órdenes uno “abajo” del otro. Luego para todo $r$ no negativo, el conjunto de los predecesores de $r$ será biyectivo con $\R$.

De todas las formas de bien-ordenar un conjunto $I$, hay una que es la “más económica”, de manera que para todo $i\in I$, el conjunto de los predecesores de $i$ nunca es biyectivo con $I$. Un cardinal es un conjunto que está bien ordenado de esta manera minimal. Y para todo conjunto, gracias al Axioma de Elección, hay un buen orden así. En particular, para $\R$, su cardinal se llama $2^{\ale0}$ y entonces el argumento de arriba se sintetiza de la siguiente manera:

Enumeramos todos los cerrados no numerables en tipo de orden $2^{\ale0}$ y tomamos, recursivamente, $a_\al,b_\al$ distintos en
\[F_\al\sm \bigl(\{a_\be :\be< \al\}\cup\{b_\be : \be< \al\}\bigr).\]

7 thoughts on “Bernstein

  1. Pedro:
    Estaba patrullando la internet, cuando me encontré con tus artículos y me decidí a escribirte porque he percibido que te preocupa que los temas de la teoría de Cantor sean comprendidos por más personas que no sean necesariamente matemáticos profesionales.
    Bueno, ese es el caso. Mi primer contacto con la hipótesis del continuo fue en el IMAF, como se llamaba en aquel tiempo. Un profesor soltó la idea y yo me quedé pegada.
    Mi vida fue por otros cauces y me dediqué a la filosofía, pero siempre tuve la intención de profundizar en la teoría de conjuntos porque me interesaba saber cuál es, finalmente, la textura del continuo.
    He dado clases de lógica matemática, historia del pensamiento matemático y filosofía de las ciencias formales, entre otras no relacionadas con las matemáticas. El teorema de Gödel siempre estuvo entre mis temas favoritos.
    Después de más de dos décadas de docencia en la Universidad Mayor de San Andrés, en Bolivia, y otros países, finalmente dueña de todo mi tiempo, me dispongo a hurgar otra vez en el tema. Espero que tú me ayudes, porque esos teoremas no son fáciles (quiero decir que no son intuitivos), pero confío en que voy a conseguir comprenderlos, que es lo que me gustaría lograr.
    He escrito un libro sobre la narrativa posmoderna que está en imprenta y en él he puesto toda mi alma neurótica. Te cuento esto porque la novela posmoderna tiene un artificio formal que es recursivo y que se llama ‘puesta en abismo’. El relato se ha vuelto autorreferente. Lo he enfocado desde el llamado ‘efecto Droste’ que es una manera gráfica de imaginar los fractales. Descubrí que dentro de esta metáfora estaban agazapados los conceptos asociados con la continuidad.
    Ahora me propongo leer tus artículos en la red y recién volver a escribirte.
    Bueno, no quiero hacer demasiado largo este mensaje. Es un pedido de auxilio en una botella de un náufrago en una isla. Quizá lo leas. Quizá me contestes…

    Fanny Abregú

    • Estimada Fanny:
      Quizá el material del blog te resulte un poco árido, dado que apunta a una audiencia principalmente matemática; de hecho, la Teoría de Conjuntos es un área muy poco cultivada en Argentina. Así que el principal objetivo (más humilde) es que los matemáticos profesionales se enteren más del tema. Pero como sí hice notar en otro post, algunos conceptos de la teoría trascienden esto: la no numerabilidad de los puntos de la línea, y más allá de aquélla, los resultados de Gödel.

      Vía mi página web https://cs.famaf.unc.edu.ar/~pedro/ podrás encontrar otros medios de contacto (email, etc). Seguimos por ahí.

  2. Pedro:
    Gracias por contestar.
    No me resultan áridas tus notas. Me estoy formando en los conceptos que hacen falta para continuar. Por esa razón fui a dar en tu blog.
    Afortunadamente, internet tiene muchos artículos valiosos. No era así hace unos quince años.
    Gracias,
    f.

  3. Profesor Pedro. ¿Cómo está? Soy Andrés Uribe, estudiante de pregrado de matemáticas de la universidad nacional sede Medellín, de Colombia. ¿Me podría dar su correo? me gustaría contactarme con usted, ya que me interesan mucho estos temas.

  4. Hola Pedro ! Saludos desde Brasil.

    Estoy investigando cositas básicas de los conjuntos de Bernstein con una estudiante de maestría. Me pareció notable que esos conjuntos son indeterminados tanto para lo juego de Banach-Mazur como para el juego de Choquet ! Es decir, si Y es un Bernstein, ninguno de los jugadores tiene estrategia vencedora, ni en el Banach-Mazur BM(Y), ni en el Choquet Ch(Y).

    Abrazo !

    • Hola Samuel, un gusto tenerte por acá.
      Es verdad, los conjuntos de Bernstein están indeterminados en una manera muy fuerte. En muchos juegos, una estrategia ganadora da inmediatamente un árbol cuyas ramas (un conjunto perfecto) deben estar todas en el conjunto de paga o su complemento. Por ejemplo, puede verse que un Bernstein tampoco está determinado para el juego expuesto aquí.

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