Ayer recibí la estupenda noticia que en el curso de Funciones Reales que se dicta en la FaMAF–UNC, demostraron el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (algunos omiten uno de los nombres, pero en cualquier caso es un teorema con “doble apellido”). Este teorema dice que, dados dos conjuntos $X$ e $Y$, si hay una inyección $f:X\to Y$ y otra $g:Y\to X$, entonces debe haber una biyección entre ambos. Si convenimos en decir que “$X$ tiene al menos el mismo tamaño que $Y$” (para abreviar, $X\leq_c Y$) siempre que $X$ se inyecte en $Y$, entonces el Teorema CSB dice que $\leq_c$ es antisimétrica, módulo una biyección. Y luego es un orden parcial, puesto que es obviamente reflexiva y transitiva. Continue reading
Monthly Archives: March 2017
Existen diferentes tamaños de infinito
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Debo hacer muchísimas tareas, pero es imposible evitar demorarme diez minutos en esto. Y lamento de antemano que probablemente sólo sean profesionales de la matemática quienes lean estas breves líneas.
(Cantor, ca. 1874) No todos los conjuntos infinitos son iguales. Hay diversidad de infinitos, en tanto número. En cantidad, hay más puntos en una recta que números naturales.
Hoy, en el colectivo hacia mi trabajo, venía corrigiendo typos de mi apunte de Teoría de Conjuntos. Un jovencito sintió curiosidad y me preguntó qué era. Le expliqué que era un curso de posgrado, también para últimos años de Licenciatura, y a modo ilustrativo, le comenté el resultado de Cantor. Obviamente, no lo conocía, pero lo entendió instantáneamente. Lo contrasté con el hecho que hay igualdad de número entre los puntos de la recta y los del plano, como también entre los naturales y los enteros.
Luego de casi siglo y medio, esto es una pieza de la cultura universal. Hay que universalizarlo, y esto trasciende mi natural apología por la Teoría de Conjuntos. Regálenlo a todos los que quieran. Continue reading
Características del Continuo
Imagino que casi cualquiera que haya pasado por este blog estará al tanto de que hay problemas en Teoría de Conjuntos que son independientes de los axiomas actualmente aceptados ($\mathit{ZFC}$). El más famoso, por lejos, es la
Hipótesis del Continuo ($\mathit{CH}$): Todo subconjunto no numerable de $\mathbb{R}$ es biyectivo con $\mathbb{R}$.
El cardinal de $\mathbb{N}$ se escribe $\aleph_0$ y se puede probar que hay un mínimo cardinal no numerable, $\aleph_1$. El cardinal de $\mathbb{R}$ es igual al cardinal de todas las funciones de $\mathbb{N}$ en $2=\{0,1\}$, y por ello lo llamamos $2^{\aleph_0}$, o bien $\mathfrak{c}$ (por “el continuo”). Como $\mathbb{R}$ no es numerable, tiene subconjuntos de tamaño $\aleph_1$. Por tal motivo, la forma más cortita de enunciar $\mathit{CH}$ es escribir $2^{\aleph_0} =\aleph_1$: no hay cardinales entre el de $\mathbb{N}$ y el de $\mathbb{R}$. Continue reading