Teoría de conjuntos ingenua

Abstract. I’ll discuss one view of the naïve-axiomatic dichotomy in Set Theory. My claim is that one leaves the “naïve” world when first order logic (or put differently, the possibility of different models of ZFC) becomes explicit.

En muchas ocasiones se utiliza el término teoría de conjuntos ingenua; incluso el libro de Halmos ^[1] se llama así.

En este post quisiera discutir un posible enfoque a esta dicotomía, basado en mi experiencia de aprendizaje.

La diferencia esencial entre las dos posturas es de carácter lógico. De hecho, la describiria diciendo que

dejamos de hacer teoría se conjuntos intuitiva cuando la lógica de primer orden (FOL) en la que se expresan los axiomas se hace evidente.

Dicho de otro modo, cuando trabajamos no con conjuntos, sino con modelos de la teoría de conjuntos.

La descripción actualmente establecida del universo de los conjuntos viene dada por los axiomas de ZFC. La gran mayoría de ellos enuncia propiedades intuitivamente claras de los conjuntos. Quizá el más representativo es el axioma de comprensión: dados un conjunto $x$ y una propiedad $\phi$, existe el subconjunto de $x$ de los elementos que satisfacen $\phi$:
\[\{y\in x : \phi(y)\}\]

Durante el trabajo matemático usual, cualquier propiedad “matemática” es válida como una elección de $\phi$. De hecho, esta es la postura que tomaba Zermelo. Sin embargo, ZFC es una teoría de primer orden y en ese mismo lenguaje debe estar escrita $\phi$.

En la FOL, podemos utilizar las operaciones, relaciones y los elementos distinguidos con los que viene equipada nuestra estructura, asi como las operaciones (conectivas) de la lógica proposicional, y la igualdad.

La diferencia crucial entre el lenguaje matemático y la FOL es que las expresiones $\forall x$ y $\exists x$ (“cuantificadores”) solo pueden utilizarse para elementos $x$ del universo de discurso.

Pero, ¿no es esto una estupidez flagrante? Sino puedo decir “para todo conjunto $x$, se da…”, ¿¡para qué hacemos teoría de conjuntos!? Este problema puede aclararse si por un momento abandonamos ZFC y nos vamos a un mundo mas conocido: la aritmética.

Consideremos la estructura $\mathbf{N}\doteq\lb\N,+,\cdot,0,1\rb$. Claramente, los elementos del universo de discurso son los números naturales. En la FOL podemos escribir cualquier polinomio a coeficientes naturales, por ejemplo
\[p(x,y) \doteq x^2 + y^2,\]
\[q(z) \doteq z^2,\]
podemos preguntarnos si para todo $n$ natural hay $x,y $ tales que $n=p(x,y) $, o bien si existen $x,y,z $ tales que $q(z) =p(x,y) $.

Como dijimos, las fórmulas de primer orden (interpretadas en $\mathbf{N}$) sólo admiten las cuantificaciones “para todo natural $n$, $\phi(n)$” y “existe un natural $n$ tal que $\phi(n)$”. No está permitido, por ejemplo, decir “existe una función $f$”. Otro ejemplo paradigmático de propiedad que no puede expresarse en la LFO es el principio de inducción, puesto que involucra referirse a todos los subconjuntos de $\N$.

Volvamos a la teoría de conjuntos. Cada modelo de ZFC viene dado por un par $\lb M, E\rb$, donde $M$ es el universo de discurso y $E$ es una relación binaria sobre $M$, correspondiente a la interpretación del símbolo $\in$. Luego, desde el punto de vista formal, los axiomas de ZFC son oraciones de la LFO. Son simplemente una lista de propiedades que debe cumplir el grafo dirigido $\lb M, E\rb$. Y nuevamente, las cuantificaciones se hacen sobre elementos del universo $M $.

La situación es más confusa, pero a la vez mucho más interesante, en el caso de los modelos transitivos. En éstos, los elementos del universo $M$ son conjuntos, y $E$ es la restricción de la (verdadera) relación $\in$ al conjunto $M$. La expresión
\[ \forall x\subseteq y : \phi (x)\]
sí se puede escribir en la LFO para un modelo transitivo de ZFC, pero su interpretación será la siguiente:

todo subconjunto $x $ de $y $ que esté en el modelo cumple con $ \phi(x) $.

Esta discrepancia es explícita en el caso de los modelos transitivos contables. Está claro que un conjunto contable no puede contener a todos los subconjuntos de $\N $, pero de todos modos es lícito escribir la formula que citamos más arriba.

La posibilidad de estas interpretaciones alternativas de los axiomas es el sustento de las pruebas de independencia en teoría de conjuntos.

References

1. P. R. Halmos (1960): Naive Set Theory. Springer, 1960, ISBN: 9780387900926.