Los axiomas de la Teoría de Conjuntos

Abstract. Just introducing the ZFC axioms very briefly, with a slight hint of what first-order logic is.

Se afirma que toda la Matemática se puede basar en la Teoría de Conjuntos. No voy a dedicar este post a justificar esta afirmación (quizá es un tema que se puede discutir en los comentarios a esta nota), sino simplemente voy a enumerar las propiedades de los conjuntos que permiten que esto pase.

Los axiomas que voy a introducir se conocen por los apellidos de Zermelo, Fraenkel y se incluye en su nombre explícitamente a uno de ellos (el de elección, o Axiom of Choice (AC) en inglés); para acortar ponemos ZFC.

La mayor parte de estos axiomas dan cuenta de operaciones “obvias” de construcción de conjuntos, o bien propiedades de clausura de los mismos. Hay uno, que quizá algún lector no conozca, que va en la dirección contraria. Seré deliberadamente vago (como en muchos aspectos de mi vida) con algunos detalles de la presentación, pero quisiera que estos mismos descuidos motiven (indignen) lo suficiente como para que la persona lectora pueda consultar (increpar) en los comentarios. Un ejemplo de esta vaguedad es que las fórmulas que formalizan los axiomas quizá dicen más, o ligeramente otra cosa, que los enunciados textuales; otro, que no defino algunos símbolos ($\varnothing$ es uno de ellos).

Quería cometer un último acto de vaguedad al no hablar del lenguaje en el que estoy expresando los axiomas, pero hay dos de ellos que piden a gritos que uno sea preciso al respecto. Antes de satisfacer esta necesidad, sólo diré provisoriamente que $\neg,\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow$ se leen, respectivamente, “no”, “y”, “ó”, “implica”, “si y sólo si”. En la enumeración que sigue, todas las variables se refieren a conjuntos.

• Existencia. Existe al menos un conjunto.

  $\displaystyle \exists x : x=x.$

• Extensionalidad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.

  $\displaystyle \forall x,y : x =y \leftrightarrow \forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y).$

• Pares. Dados $x$ e $y$, existe un conjunto que contiene (como elementos) exactamente a ambos.

  $\displaystyle \forall x,y \exists c :\forall z (z \in c \leftrightarrow z =x \vee z = y).$

• Unión. Dado un conjunto $x$, la unión $\bigcup x $ de todos los conjuntos que pertenecen a $x$ es un conjunto.

  $\displaystyle \forall x \exists u : \forall z \bigl(z \in u \leftrightarrow \exists y \in x ( z \in y )\bigr).$

• Conjunto Potencia o de Partes. Dado un conjunto $x$, existe un conjunto $\mathcal { P}(x)$ que contiene a todos los subconjuntos de $x$.

  $\displaystyle \forall x \exists p : \forall y \bigl(y \in p \leftrightarrow \forall z \in y ( z \in x )\bigr).$

• Separación. Para todo $x$, parámetros $\bar x = x_1,\dots,x_n$ y toda “propiedad definible” de $(n+1)$-tuplas $\varphi$, existe un conjunto $\{y\in x : \varphi(y,\bar x)\}$ que contiene exactamente a los elementos de $x$ que cumplen con $\varphi(\cdot,\bar x)$.

  $\displaystyle \forall x \forall \bar x \exists s : \forall y (y \in s \leftrightarrow \varphi(y,\bar x) \wedge y \in x).$

• Infinito. Existe un conjunto infinito.

  $\displaystyle \exists x : \varnothing\in x \wedge \forall y (y \in x \rightarrow y\cup \{y\}\in x).$

• Reemplazo. Para cada “función definible” con parámetros $\bar x$ (con gráfico $\psi(\cdot,\cdot,\bar x)$), la imagen de un conjunto por esa función es otro conjunto.

  $\displaystyle \forall x, \bar x: \bigl(\forall y\in x \exists!z : \psi(y,z,\bar x)\bigr) \rightarrow \exists r : \forall w \bigl( w\in r \leftrightarrow \exists t\in x : \psi(t,w,\bar x)\bigr).$

• Regularidad. No hay sucesiones estrictamente decrecientes de pertenencia.

  $\displaystyle \forall x \exists y : \forall z \in x (z\notin y).$

• Elección. Para todo conjunto $x$ de conjuntos disjuntos no vacíos, existe un conjunto que corta a cada uno en exactamente un punto.

  $\displaystyle \forall x \Bigl(\bigl(\forall y,w\in x: y \neq \varnothing \wedge \neg\exists t: t\in y \wedge t \in w \bigr) \rightarrow \exists c: \forall y \in x \bigl(\exists! z (z\in y \wedge z\in c)\bigr)\Bigr).$

Tanto el axioma de Separación como el de Reemplazo son realmente listas de axiomas, uno para cada $\varphi$ y $\psi$, respectivamente. Y ambos requieren que uno defina qué significa ser definible. En nuestro caso, una propiedad $\varphi(\cdot)$ será definible si se puede expresar usando los símbolos que usamos para escribir los axiomas: los conectivos proposicionales, los cuantificadores $\forall$ y $\exists$, la igualdad $=$, el símbolo de pertenencia $\in$ y variables (éste es el lenguaje de la lógica de primer orden). Por ejemplo, la propiedad “$y$ es el singulete $\{x\}$” es una propiedad definible $\varphi(x,y)$ de pares, puesto que se puede escribir

$\displaystyle \varphi(x,y) \equiv \forall z (z \in y \leftrightarrow z = x).$

De hecho, $\varphi$ también es (el gráfico de) una función definible. Esto es cierto gracias al axioma de Extensionalidad: supongamos que hay $y,y’$ tales que $\varphi(x,y)$ y $\varphi(x,y’)$. Pero eso quiere decir que, para cada $z$,

$\displaystyle z \in y \leftrightarrow z = x \leftrightarrow z \in y’,$

y entonces $y=y’$. Notemos un punto importante, que $\varphi$ define una función módulo los axiomas de la teoría ZFC; en muchas ocasiones es crucial saber específicamente cuáles son los que necesito para tener probar “buena definición”.

Me despido con algunos ejercicios, habiendo pasado el límite razonable de cantidad de palabras.

1. Probar que $y = \varnothing$ es un propiedad definible.
2. Probar que $x \mapsto \mathcal{P}(x)$ es una función definible.
3. Probar que sin el requerimiento de que los conjuntos sean disjuntos, AC es falso. Es decir, no es cierto que

   $\displaystyle \forall x \Bigl(\bigl(\forall y\in x : y \neq \varnothing \bigr) \rightarrow \exists c: \forall y \in x \bigl(\exists! z (z\in y \wedge z\in c)\bigr)\Bigr).$

4. (*) Probar que el axioma de Separación es falso si uno no pide un ambiente $x$. Es decir, no vale que:

   $\displaystyle \forall \bar x \exists s : \forall y (y \in s \leftrightarrow \varphi(y,\bar x)).$