Una buena elección de cardinal

Ayer recibí la estupenda noticia que en el curso de Funciones Reales que se dicta en la FaMAFUNC, demostraron el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein (algunos omiten uno de los nombres, pero en cualquier caso es un teorema con “doble apellido”). Este teorema dice que, dados dos conjuntos $X$ e $Y$, si hay una inyección $f:X\to Y$ y otra $g:Y\to X$, entonces debe haber una biyección entre ambos. Si convenimos en decir que “$X$ tiene al menos el mismo tamaño que $Y$” (para abreviar, $X\leq_c Y$) siempre que $X$ se inyecte en $Y$, entonces el Teorema CSB dice que $\leq_c$ es antisimétrica, módulo una biyección. Y luego es un orden parcial, puesto que es obviamente reflexiva y transitiva.

Cantor probó este teorema, usando implícitamente el Axioma de Elección $\AC$. Luego los otros dos (no recuerdo bien esta parte) eliminaron el uso de ese axioma dando una construcción recursiva, y finalmente Zermelo da una prueba que ni siquiera depende de $\N$. Pero es interesante notar que $\AC$ implica algo más que interesante: la comparabilidad de cardinales. Esto es,

($\mathit{CC}$)   para todos $X$, $Y$, se da $X\leq_c Y$ ó $Y\leq_c X$.

Luego, el orden de los cardinales es total. La prueba, en breves términos, consiste en darle buenos órdenes (vía $\AC$) a ambos conjuntos; y luego es fácil convencerse que dados dos buenos órdenes no isomorfos, uno debe ser segmento inicial del otro. Luego, si son isomorfos, hay una biyección; de lo contrario, uno se inyecta en el otro.

Pero esta prueba da mucho más, incluso demasiado, de lo que uno esperaría. Dado que los segmentos iniciales propios $I$ de un buen orden $Y$ están determinados por un elemento de $y\in Y$ (específicamente, $\min Y\sm I$), resulta que $\leq_c$ es una relación de buen orden. Esto es un poco inesperado. Quizá asumir $\AC$ haya sido un “overkill”, y entonces quizá convendría quedarse con lo mínimo necesario para tener una buena noción de cardinal: que sea un orden lineal, como enuncia $\mathit{CC}$. Quizá podríamos tener, omitiendo a $\AC$ y asumiendo comparabilidad, que los cardinales están ordenados en un continuo similar a $\R$, u otras opciones. Sin embargo,

Teorema 1. $\mathit{CC}$ implica $\AC$.

Es decir, una vez que queramos que nuestros conjuntos estén totalmente ordenados (a más de biyección) por la relación $\leq_c$, resultarán entonces bien ordenados.

Esta es una de las tantas razones por las cuales la Teoría de Conjuntos puede ser considerada como el estudio de las relaciones de buen orden (y en general, las bien fundadas).

2 thoughts on “Una buena elección de cardinal

  1. Profesor Pedro, quisiera hacer una observación. Cuando escribes “Y luego es un orden parcial, puesto que es obviamente reflexiva y transitiva.” creo que se debería especificar que no es una relación en el sentido usual, ya que la definición de órdenes se hace sobre conjuntos y en este caso estaríamos definiendo esa relación sobre la colección de todos los conjuntos, la cual, sabemos, no es un conjunto.

    • Hola Andrés, gracias por tu comentario. Estás en lo cierto que dominio de definición de este “orden” es una clase propia. Sin embargo, la notación que uso es bastante usada. Me parece recordar que hay textos que dicen, v.g., “relación de orden parcial” cuando se refieren a un conjunto, y “orden parcial” a secas cuando el dominio de definición no necesariamente es un conjunto.

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