Características del Continuo

Imagino que casi cualquiera que haya pasado por este blog estará al tanto de que hay problemas en Teoría de Conjuntos que son independientes de los axiomas actualmente aceptados ($\mathit{ZFC}$). El más famoso, por lejos, es la

Hipótesis del Continuo ($\mathit{CH}$): Todo subconjunto no numerable de $\mathbb{R}$ es biyectivo con $\mathbb{R}$.

El cardinal de $\mathbb{N}$ se escribe $\aleph_0$ y se puede probar que hay un mínimo cardinal no numerable, $\aleph_1$. El cardinal de $\mathbb{R}$ es igual al cardinal de todas las funciones de $\mathbb{N}$ en $2=\{0,1\}$, y por ello lo llamamos $2^{\aleph_0}$, o bien $\mathfrak{c}$ (por “el continuo”). Como $\mathbb{R}$ no es numerable, tiene subconjuntos de tamaño $\aleph_1$. Por tal motivo, la forma más cortita de enunciar $\mathit{CH}$ es escribir $2^{\aleph_0} =\aleph_1$: no hay cardinales entre el de $\mathbb{N}$ y el de $\mathbb{R}$.

$\mathit{CH}$ no se puede probar ni refutar con los axiomas actuales (a menos que sean inconsistentes, i.e. lleven a contradicciones). En general, los axiomas de $\mathit{ZFC}$ no determinan en qué posición de la “recta cardinal” está el conjunto de los números reales: no deciden si es igual a $\aleph_1$, o $\aleph_5$, o si acaso es menor que $\aleph_{31415}$. El “monstruo feo de la incompletitud” (como decía Erdös) muestra su peor cara con este problema.

En esta situación, como en otras relativamente similares, una estrategia razonable es averiguar qué relación tiene $\mathfrak{c}$ con otros cardinales, llamados características cardinales del continuo, que resultan de estudiar objetos relacionados con $\mathbb{R}$. Entre ellos se encuentran $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, ${}^\mathbb{N}2$ (funciones de $\mathbb{N}$ en el $2$), ${}^\mathbb{N}\mathbb{N}$, y otros más, que son canónicamente biyectivos entre sí. Las características cardinales son siempre no numerables y menores o iguales a $\mathfrak{c}$. En diversos universos de $\mathit{ZFC}$, las características pueden tener valores distintos dos a dos y a su vez distintos de $\aleph_1$, $\mathfrak{c}$. Por tal motivo, estas características se las llama “invariantes cardinales”, puesto que determinan parte de la estructura cardinal de dichos universos.

En un universo donde vale $\CH$, todas las características colapsan a $\mathfrak{c}$. En un próximo post nos dedicaremos al Axioma de Martin ($\MA$), que tiene esta misma consecuencia pero por razones completamente diferentes. Lo más interesante de $\MA$ es que los conceptos involucrados en su definición y uso son los mismos que se utilizan en la técnica de forzamiento o forcing, una de las principales para demostrar resultados de independencia de $\ZFC$. Presentar forcing usando $\MA$ ya es estándar (por ejemplo, en Kunen [1] y su clásico [2]).

Este post está basado en parte en las notas de un curso dictado por Justin Palumbo [3].

1. Dominación de funciones

La primera característica del continuo que introduciremos resulta de estudiar la relación de dominación eventual entre funciones de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$.

Definición 1. Sean $f,g\in{}^\mathbb{N}\mathbb{N}$. Decimos que $g$ domina a $f$, $f< ^* g$ si $\exists n_0\in\mathbb{N}\, \forall n\geq n_0: f(n)< g(n)$.

Es decir, si $g$ domina a $f$ entonces es “casi siempre mayor”. En general, también se pueden definir $\leq^*$, $=^*$, y resulta que $f< ^* g \leftrightarrow f\leq^*g \wedge f (\neq)^* g$.

Ejercicio 1. ¿Es $(\neq)^*$ la negación de $=^*$?

Es fácil ver que toda familia finita de funciones $ \{f_i : i< k\}$ está acotada, es decir, se puede dominar: basta tomar $g(n)\mathrel{\mathop:}= \max\{f_i(n) : i< k\} +1$. Por otro lado, el orden $< ^*$ sobre ${}^\mathbb{N}\mathbb{N}$ es mucho más interesante que el orden $< $ punto a punto. De hecho, una diferencia es la siguiente:

Proposición 2. Toda familia numerable $ \{f_i : i\in\mathbb{N}\}\subseteq {}^\mathbb{N}\mathbb{N}$ está acotada.
Prueba. El argumento es una diagonalización: $g(n)\mathrel{\mathop:}= \max\{f_i(n) : i< n\} +1$. $\Box$

Esto nos lleva a preguntarnos, ¿cuántas funciones pueden dominarse a la vez?

Definición 3. El número de acotación es el menor cardinal de una familia no acotada:

$\displaystyle \mathfrak{b} \mathrel{\mathop:}=\min\{|\mathcal{F}| : \mathcal{F}\subseteq{}^\mathbb{N}\mathbb{N} \wedge \forall g\in{}^\mathbb{N}\mathbb{N}\ g\text{ no domina a }\mathcal{F}\}. $

Dado que ${}^\mathbb{N}\mathbb{N}$ no se puede dominar, es inmediato que $\aleph_0< \mathfrak{b}\leq 2^{\aleph_0}$ y $\mathit{CH}$ implica $\mathfrak{b}= 2^{\aleph_0}$.

2. Familias casi disjuntas

La segunda característica que introduciremos surge de considerar “casi particiones” de $\mathbb{N}$.

Definición 4.

  1. Sean $A,B\subseteq\mathbb{N}$. $A$ y $B$ son casi disjuntos si $|A\cap B|< \aleph_0$.
  2. Una familia de conjuntos es casi disjunta si sus elementos son casi disjuntos dos a dos.
  3. Una familia $\mathcal{F}$ de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ es loca si es casi disjunta y es maximal (según inclusión) con esa propiedad.

El nombre “loca” proviene de la traducción de la siglas mad del inglés “maximal almost disjoint”. Como consecuencia de la definición, si $\mathcal{F}$ es loca y $X\subseteq\mathbb{N}$ es infinito, hay $A\in\mathcal{F}$ tal que $A\cap X$ es infinito.

Lema 5. No hay familias locas numerables.
Prueba. Observemos que

($\nabla$) si $\mathcal{F}\subseteq [\mathbb{N}]^\mathbb{N}$ es casi disjunta y $A_0,\dots,A_{n+1}\in\mathcal{F}$ entonces $A_{n+1}\setminus (A_0\cup\dots\cup A_n)$ es cofinita en $A_{n+1}$.

Para verlo, usemos que $A\setminus B = A\setminus (A\cap B)$:

$A_{n+1}\setminus (A_0\cup\dots\cup A_n) =$
$= A_{n+1}\setminus (A_{n+1}\cap(A_0\cup\dots\cup A_n))=$
$A_{n+1}\setminus ((A_{n+1}\cap A_0)\cup\dots\cup (A_{n+1}\cap A_n))$,

donde la unión es finita.

Supongamos ahora que $\{A_k : k \in \mathbb{N}\}$ es loca. Construiremos recursivamente $B\subseteq\mathbb{N}$ que sea casi disjunto de todos los $A_k$. Sea $b_0\in A_0$ arbitrario. Suponiendo $b_0,\dots,b_n$ ya elegidos, sea $b_{n+1}\in A_{n+1}\setminus(A_0\cup\dots\cup A_n)$ tal que $b_{n+1} >b_0,\dots,b_n$ (es posible por ($\nabla$)). $B=\{b_n: n\in\mathbb{N}\}$ es infinito, y $B\cap A_n\subseteq\{b_k : k\leq n\}$ (puesto que por construcción, $b_k\notin A_n$ para todo $k >n$). $\Box$

Aunque parezca, este lema no requiere ninguna forma de $\AC$.

Ejercicio 2. Hay una familia casi disjunta de $\mathbb{N}$ de tamaño $2^{\ale0}$. Usando el Lema de Zorn, hay familias locas de ese tamaño.

Luego, podemos definir

$\displaystyle \mathfrak{a} \mathrel{\mathop:}= \min\{|\mathcal{F}| : \mathcal{F} \text{ es loca}\}, $

y concluimos que $\ale0< \mathfrak{a}\leq2^{\ale0}$.

3. Una desigualdad

Las dos características que introdujimos no son independientes entre sí.

Teorema 6 (Solomon). $\mathfrak{b}\leq\mathfrak{a}$.
Prueba. Sea $\ka$ un conjunto de índices de cardinal menor a $\mathfrak{b}$. Veremos que ninguna familia casi disjunta indizada por $\ka$ puede ser maximal. Asumimos que $\mathbb{N}\subseteq \ka$.

(De hecho, usualmente en Teoría de Conjuntos, cada cardinal $\la$ es naturalmente un conjunto de tamaño $\la$, y está bien ordenado de manera que tiene un segmento inicial isomorfo a $\mathbb{N}$. Los dos elementos siguientes a todos los naturales se denotan con $\omega$ y $\omega+1$, y los usaremos más abajo como elementos de $\ka\sm\N$).

Sea $\mathcal{F} = \{A_\alpha : \alpha\in\ka\}$. Por la observación ($\nabla$), podemos suponer que $\{A_\alpha : \alpha\in\mathbb{N}\}$ son disjuntos dos a dos. Enumeramos cada $A_n$ ($n\in\mathbb{N}$) de manera creciente: $A_n=\bigl\{a_m^{(n)} : m\in\mathbb{N}\bigr\}$, con $a_m^{(n)}< a_{m+1}^{(n)}$ para todo $m$ y definamos, para $\alpha\in\ka\sm\mathbb{N}$,

$\displaystyle f_\alpha(n)\mathrel{\mathop:}= \min\bigl\{m: A_n\cap A_\alpha < a_m^{(n)}\bigr\}. $

En la Figura se ve cómo se definen estas funciones. Los conjuntos $A_n$ con $n\in\mathbb{N}$ están dispuestos verticalmente, y son cortados “transversalmente” por los $A_\alpha$ con $\alpha\in\ka\sm\mathbb{N}$ (en líneas punteadas). Esta terminología tiene sentido porque cada intersección $A_n\cap A_\alpha$ es finita. Luego, el valor de $f_\alpha(n)$ es el índice del menor elemento de $A_n$ que acota estrictamente a dicha intersección. En el ejemplo, tenemos los valores indicados en la Tabla.

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$
$f_\omega$ $2$ $2$ $4$ $6$
$f_{\omega+1}$ $5$ $4$ $3$ $2$

Tabla: Funciones asociadas a familia casi disjunta

solomon

Figura: Las funciones $f_\alpha$ para $\alpha\in\ka\sm\N$.

Prosiguiendo con el argumento, tenemos una familia de menos de $\mathfrak{b}$ funciones, así que hay una $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ que las domina a todas. Definamos entonces $B\mathrel{\mathop:}=\bigl\{a_{f(n)}^{(n)}: n\in\mathbb{N}\bigr\}$; por construcción, $A_n\cap B =\bigl\{a_{f(n)}^{(n)}\bigr\}$. Veremos que $B$ es casi disjunto de todos los $A_\alpha$.

Sea $\alpha\in\ka\sm\mathbb{N}$. Como $f_\alpha< ^* f$, existe $n_0$ tal que $\forall n\geq n_0$, $f_\alpha(n)< f(n)$. Esto implica que

$\displaystyle a_{f_\alpha(n)}^{(n)}< a_{f(n)}^{(n)}\in A_n. $

Como $a_{f_\alpha(n)}^{(n)}$ es cota superior de $A_n\cap A_\alpha$, concluimos que $a_{f(n)}^{(n)}\notin A_\alpha$. Luego

$\displaystyle A_\alpha\cap B\subseteq\bigl\{a_{f(m)}^{(m)} : m < n_0\bigr\}, $

obviamente un conjunto finito. $\Box$

Es consistente que se dé $\mathfrak{b}=\mathfrak{a}$, pero también lo es (por un teorema de S. Shelah) que no coincidan.

Bibliografía

[1] K. Kunen, Set Theory, Second ed., College Publications (2011).
[ www | BibTeX ]

@book{kunen2011set,
title={Set Theory},
author={Kunen, K.},
edition = {Second},
isbn=9781848900509,
series={Studies in Logic},
url={https://books.google.com.ar/books?id=Zn8ppwAACAAJ},
year=2011,
publisher={College Publications},
note = {Revised edition, 2013}
}

[2] K. Kunen, Set theory: An Introduction to Independence Proofs, Amsterdam, Lausanne, New York: Elsevier Science (1980).
[ www | BibTeX ]

@book{kunen1980,
title = "Set theory: An Introduction to Independence Proofs",
author = "Kunen, Kenneth",
series = "Studies in logic and the foundations of mathematics",
publisher = "Elsevier Science",
address = "Amsterdam, Lausanne, New York",
url = "http://opac.inria.fr/record=b1117475",
isbn = "0-444-86839-9",
year = 1980
}

[3] J. Palumbo, Forcing and Independence in Set Theory (2009 — accessed August 2014).
[ BibTeX ]

@misc{palumbo-summer,
author = "Palumbo, Justin",
title = "Forcing and Independence in Set Theory",
howpublished = {Webpage},
note = {{UCLA} {L}ogic {C}enter Summer School for Undergraduates},
year = "2009 --- accessed August 2014"
}

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