Brevísimo panorama de la Teoría de Conjuntos

Como parte de un plan de trabajo que debí presentar recientemente, incluí una cortísima reseña sobre teoría de conjuntos. Aprovecho el trabajo hecho para compartirla por aquí.


La Teoría de Conjuntos (TC) tiene un doble rol en la matemática: es a la vez su fundamento y dentro de ella es un área de investigación vigente.

En su primera faceta, la TC surgió de entre varios enfoques alternativos (teoría de tipos y el intuicionismo) como respuesta a las contradicciones internas (antinomias) que sacudieron las bases de la matemática a principios del siglo XX. Con el tiempo se estableció como la opción que más se ajustaba a la práctica matemática usual, cristalizándose en los axiomas de Zermelo y Fraenkel con Elección ($\ZF + C = \ZFC$).

Se destacan tres áreas de la TC:

  • Estudio de la técnica de forcing o forzamiento: ésta es la técnica creada por Paul Cohen para probar la independencia de la Hipótesis del Continuo $(\CH)$ de los axiomas $\ZFC$ (problema número 1 en la lista de Hilbert); esto le valió la medalla Fields y hasta ahora es la única entregada en el área de la Lógica Matemática. Junto a los modelos internos, es una de las principales herramientas de construcción de modelos de los axiomas $\ZFC$, y permite probar resultados de equiconsistencia, e.g. “$\ZF$ es consistente si y sólo si $\ZFC$ lo es” [1].
  • Teoría de Conjuntos Descriptiva (TCD): es el estudio de los subconjuntos en espacios polacos (separables y completamente metrizables); en esta teoría, los conjuntos se clasifican de acuerdo a la complejidad de sus definiciones (Borel, analíticos = imágenes continuas de Borel, …), y la estructura de los conjuntos en cada nivel de estas jerarquías se analiza sistemáticamente (Kechris [2])
  • Cardinales Grandes: Aquí se estudian las hipótesis de existencia de cardinales, y su relaciones de fuerza de consistencia [3].

Tradicionalmente, estas tres áreas se trataron de forma separada, pero en los últimos 30 años se han relacionado de manera muy fuerte. Un importante resultado en esta dirección es el de Solovay-Shelah: la existencia de un cardinal inaccesible es equiconsistente con $\ZF$ más la afirmación “todo subconjunto de $\R$ es medible Lebesgue”.

En esta interrelación de las áreas, es muy importante el concepto de juego infinito. Más precisamente, se trata de un juego de información perfecta entre dos jugadores (I y II), de duración “contable”. Como un ejemplo de esto, se fija un subconjunto $A\subseteq (0,1)$ y los jugadores eligen alternativamente dígitos decimales
$$
\begin{array}{rcccccc}
\mathrm{I}: & a_0 & & a_2 & & \dots \\
\mathrm{II}: & & a_1 & & a_3 & & \dots
\end{array}
$$
El jugador I gana la partida si $0.a_0a_1a_2a_3\dots$ es la expansión decimal de un elemento de $A$, y decimos que el conjunto $A$ está determinado si alguno de los jugadores tiene estrategia ganadora. Se puede probar que todo conjunto boreliano está determinado, pero no se puede probar en nuestro actual marco axiomático que los conjuntos analíticos lo están.

Con juegos similares al anterior, se pueden caracterizar diversas propiedades de regularidad de conjuntos, a saber: la propiedad del conjunto perfecto (esencialmente, no ser un contraejemplo a la $\CH$), ser universalmente medible (i.e., ser un conjunto $\mu$-medible para todo medida de Borel $\mu$), tener la propiedad de Baire (i.e., ser igual a un abierto a más de un conjunto de primera categoría). Una de las conexiones profundas mencionadas más arriba es que la suposición de que haya un cardinal suficientemente grande implica directamente que los conjuntos analíticos están determinados.

Bibliografía

[1] K. Kunen, Set theory, Second ed., College Publications (2011).
[ www | BibTeX ]

@book{kunen2011set,
title={Set Theory},
author={Kunen, K.},
edition = {Second},
isbn=9781848900509,
series={Studies in Logic},
url={https://books.google.com.ar/books?id=Zn8ppwAACAAJ},
year=2011,
publisher={College Publications},
note = {Revised edition, 2013}
}

[2] A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Springer-Verlag (1994) 156.
[ BibTeX ]

@Book{Kechris,
author =  "Alexander S. Kechris",
title =  "Classical Descriptive Set Theory",
series =  "Graduate Texts in Mathematics",
volume =  "156",
publisher = "Springer-Verlag",
year =  "1994"
}

[3] A. Kanamori, The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings, Springer Berlin Heidelberg (2008).
[ www | BibTeX ]

@book{kanamori2008higher,
title={The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings},
author={Kanamori, A.},
isbn={9783540888666},
lccn={2008940025},
series={Springer Monographs in Mathematics},
url={https://books.google.com.ar/books?id=FH\_n84ocuSMC},
year={2008},
publisher={Springer Berlin Heidelberg}
}

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