Abstract. In this series of posts I’ll discuss problems that can be posed in an elementary way but the only way to solve them (to the best of my knowledge) is to develop some set theory. This post is dedicated to a problem appearing in Fraenkel’s Set Theory [1], that states that you can change the iso type of any total order by adding just one point. The solution depends on well orders, which I consider a part of the theory of sets.

Leyendo diversas fuentes, encontré dos problemas elementales cuya solución involucra desarrollar algo de Teoría de Conjuntos “seria”. En este post plantearé uno de ellos.

Cómo romper un orden total

Un orden total es un conjunto $L$ con una relación “$<$” irreflexiva, transitiva, y para la cual vale tricotomía: se da alguna de $x<y$, $x = y$ ó $x>y$ para cualquier par $x,y$ en $L$.
La recta real con el $<$ usual es un ejemplo, igual que ordinales con la relación $\in$; en un post dedicado a ellos defino la noción de isomorfismo de conjuntos ordenados. Dos órdenes totales son isomorfos si tienen la misma “pinta”.

Romper un orden total, en este post, significa modificarlo de manera de que cambie su tipo de isomorfismo. Las modificaciones que consideraremos permitidas serán agregar algunos puntos a $L$, y extendiendo la relación $<$ para siga siendo un orden total. Por ejemplo, es trivial romper un orden total finito: ponés un punto en cualquier lado y ya no puede ser biyectivo con el original (cosa que es necesaria para que sean iso):

Para órdenes infinitos, es un poco más complicado. El tipo de iso $\lb \N,<\rb$ no cambia si ponemos un punto en ningún lugar “obvio”; tampoco sacando cantidad arbitraria de ellos, mientras que resten infinitos. Si agregamos infinitos puntos al principio sí cambiará: $\newcommand{\punto}{{\bullet}\ \ }$

\[\color{red}{\cdots\ \punto\punto\punto}\stackrel{0}{\bullet}\ \stackrel{1}{\bullet}\ \stackrel{2}{\bullet}\ \cdots \]

El orden total obtenido no es isomorfo al anterior porque no tiene primer elemento, mientras que $\N$ sí lo tiene. Escribamos formalmente qué significa agregar un punto.

Definición.  Dado un orden total $\lb L,<\rb$, un segmento inicial de $L$ es un conjunto $I\subseteq L$ que cumple con $\forall x\in I: \forall y\in L (y<x \limp y\in I)$. Dado tal $I$, y $a\notin L$, el resultado de poner un punto después de $I$ es el orden total dado por $\lb L\cup\{a\},\prec\rb$, donde:
\[ x \prec y \ \iff\  (x,y\in L \y x<y) \o (x\in I \y y=a) \o (x=a \y y\in L\setminus I).\]

Podemos generalizar y partiendo de un orden total, le aplicamos sucesivas veces la operación de agregar un punto.

Ejercicio: Consideremos el orden sobre $\mathbb{Z}$ en el cual los positivos con el cero están antes de los negativos (cada uno con su orden usual):
\[0,1,2,3,\dots\ \dots, -4,-3,-2,-1.\]
Agregar puntos hasta obtener un orden total no isomorfo al original.

Nuestro primer problema es: ¿cuántos puntos hay que agregar para romper un orden total arbitrario? Es decir, ¿cuántos hay que agregar para obtener un orden que no sea isomorfo al orden original?

Sorprendentemente (por lo menos para mí lo fue) es que con un solo punto basta. Esto vale sin importar el orden total con el cual uno comience.

Mi plan era poner una pista y eventualmente la solución, pero creo que me detendré aquí, por si alguien quiere opinar. Este problema aparece en el libro de Fraenkel [1].

References

@book{Fraenkel:book,
author = {Fraenkel, Abraham A.},
title = {Abstract Set Theory},
publisher = {North-Holland},
series = {Studies in Logic and Foundations of Mathematics},
edition = {Second},
address = {{A}msterdam},
year = {1961},
}